Birinci Tür Küresel Bessel Fonksiyonu jᵥ(x) Hesaplayıcı

Hesaplamaya Girin

Order ν (nu)

x'in başlangıç değeri

x'in artışı (adımı)

Satır sayısı (tekrar)

Sonuç

Spherical Bessel function jν(x), first value

1

51 rows generated up to x = 10

x	jν(x)
0	1
0,2	0,99334665
0,4	0,97354586
0,6	0,94107079
0,8	0,89669511
1	0,84147098
1,2	0,77669924
1,4	0,70389266
1,6	0,6247335
1,8	0,54102646
2	0,45464871
2,2	0,36749837
2,4	0,28144299
2,6	0,19826976
2,8	0,11963863
3	0,04704
3,2	-0,01824192
3,4	-0,07515915
3,6	-0,12292235
3,8	-0,16101523
4	-0,18920062
4,2	-0,20751804
4,4	-0,2162732
4,6	-0,21601978
4,8	-0,20753429
5	-0,19178485
5,2	-0,16989513
5,4	-0,14310453
5,6	-0,11272619
5,8	-0,08010382
6	-0,04656925
6,2	-0,01340152
6,4	0,01821081
6,6	0,04720324
6,8	0,07266373
7	0,09385523
7,2	0,11023165
7,4	0,12144704
7,6	0,12735785
7,8	0,12801838
8	0,12366978
8,2	0,11472324
8,4	0,10173797
8,6	0,08539501
8,8	0,06646786
9	0,04579094
9,2	0,02422716
9,4	0,00263568
9,6	-0,01815904
9,8	-0,03739583
10	-0,05440211

Bu hesaplayıcı ne işe yarar?

Bu araç, birinci tür küresel Bessel fonksiyonu \(j_{\nu}(x)\) değerlerini ardışık x noktalarında tablolaştırır. \(\nu\) derecesini, başlangıç x değerini, adım büyüklüğünü ve kaç satır üretileceğini siz belirlersiniz. Hesaplayıcı, iki sütunlu bir \((x, j_{\nu}(x))\) tablosu döndürür. Tamamen matematiksel bir işlemdir ve her yerde aynı şekilde geçerlidir — herhangi bir ülke ya da birim varsayımı içermez.

Küresel Bessel fonksiyonları \(j_{\nu}(x)\), x arttıkça salınır ve sönümlenir.

Nasıl kullanılır?

\(\nu\) derecesini girin (herhangi bir gerçek sayı olabilir; örneğin 0, 1, 2 veya 1.5), ardından x'in başlangıç değerini, her satırda x'e eklenecek artış miktarını ve satır sayısını belirleyin. k'ıncı satır şu formülü kullanır: $$x_k = \text{başlangıçX} + k\cdot\text{adımX}$$ En üstteki büyük rakam, ilk x değerindeki \(j_{\nu}\) değerini gösterir; tablo ise üretilen tüm değerleri sıralar.

Formülün açıklaması

Genel gerçek dereceler için $$j_{\nu}(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\; J_{\nu+\frac{1}{2}}(x)$$ şeklindedir; burada \(J\), birinci tür sıradan Bessel fonksiyonudur ve Lanczos gama fonksiyonu kullanılarak kuvvet serisi üzerinden hesaplanır. Tam sayı dereceler içinse hesaplayıcı, sayısal olarak kararlı kapalı biçimleri kullanır: \(j_0(x) = \sin(x)/x\) ve \(j_1(x) = \sin(x)/x^2 - \cos(x)/x\). Ardından yukarı yinelemeyle ilerler: $$j_{n+1}(x) = \frac{2n+1}{x}\cdot j_n(x) - j_{n-1}(x)$$ \(x = 0\) noktasında limit uygulanır: \(j_0(0) = 1\) ve \(\nu > 0\) için \(j_n(0) = 0\). Böylece sıfıra bölme hatası önlenir.

\(j_{\nu}(x)\), yarım tam sayı dereceli sıradan Bessel fonksiyonu \(J\)'nin \(\sqrt{\pi/2x}\) ile ölçeklenmesiyle elde edilir.

Örnek hesaplama

\(\nu = 0\) derecesi, başlangıçX = 0, adımX = 0.2 ve 6 satır seçildiğinde x değerleri 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0 olur. \(j_0(x) = \sin(x)/x\) formülüyle: $$j_0(0)=1,\quad j_0(0.2)=0.993347,\quad j_0(0.4)=0.973546,\quad j_0(0.6)=0.941071,\quad j_0(0.8)=0.896695,\quad j_0(1.0)=0.841471$$ — tanıdık sönümlü sinc eğrisi ortaya çıkar.

Sıkça sorulan sorular

Derece kesirli olabilir mi? Evet. Tam sayı olmayan \(\nu\) değerleri için \(\sqrt{\pi/2x}\cdot J\) seri biçimi kullanılır.

x sıfırdan başladığında ilk değer neden tam olarak 1 oluyor? Çünkü limit gereği \(j_0(0) = 1\)'dir; \(\nu > 0\) için ise bu limit 0 olur.

Yukarı yineleme her zaman güvenli mi? Bir tablo görüntüleyicide tipik olan ılımlı dereceler ve x değerleri için evet. x'e kıyasla çok büyük dereceler söz konusu olduğunda aşağı yineleme daha kararlıdır; ancak burada buna nadiren ihtiyaç duyulur.