Birinci Tür Whittaker Fonksiyonu M_{k,m}(z) Hesaplayıcı

Hesaplamaya Girin

k (parametre)

m (parametre)

z (argüman, z > 0)

Gösterim hassasiyeti (anlamlı basamak) 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

Sonuç

Birinci tür Whittaker fonksiyonu M_{k,m}(z)

0,076828057

M = e^(-z/2) z^(m+1/2) 1F1(m-k+1/2; 2m+1; z)

a = m - k + 1/2	1,5
b = 2m + 1	7

Whittaker fonksiyonu M_{k,m}(z) nedir?

Birinci tür Whittaker fonksiyonu \(M_{k,m}(z)\), Whittaker diferansiyel denklemini çözen özel bir fonksiyondur: \(y'' + \left( \frac{1}{4} - \frac{k}{z} + \frac{m^2 - \frac{1}{4}}{z^2} \right) y = 0\). Bu denklemin genel çözümü \(M_{k,m}(z)\) ile ikinci tür Whittaker fonksiyonu \(W_{k,m}(z)\)'yi bir araya getirir. Bu hesaplayıcı yalnızca \(M_{k,m}(z)\) değerini, yani Kummer'in konfluent hipergeometrik fonksiyonu üzerine kurulu düzgün çözümü döndürür. Söz konusu fonksiyon, radyal Coulomb dalga fonksiyonları ve parabolik silindir problemleri dâhil olmak üzere matematiksel fizikte sıkça karşımıza çıkar. Bu tamamen saf matematiktir; herhangi bir ülkeye veya bölgeye özgü varsayım içermez, her yerde geçerlidir.

\(z > 0\) için birinci tür Whittaker fonksiyonu \(M_{k,m}(z)\)'nin tipik şekli.

Hesaplayıcı nasıl kullanılır?

Üç reel sayı girin: \(k\) ve \(m\) parametreleri ile \(z\) argümanı. \(z > 0\) seçin; böylece tam sayı olmayan \(m\) için \(z^{m+1/2}\) ifadesi reel bir sonuç verir. \(2m+1\)'i pozitif olmayan bir tam sayı yapan \(m\) değerlerinden kaçının (\(m = 0, -1/2, -1, \ldots\)), çünkü bu durum serinin paydasında bir kutup oluşturur. Hassasiyet seçicisi yalnızca kaç basamağın gösterileceğini belirler; arka plandaki çift duyarlıklı (double) hesaplama, makul girdilerde (kabaca \(|z| \approx 30\)'a kadar) doğru sonuç verir.

Formülün açıklaması

\(a = m - k + \frac{1}{2}\) ve \(b = 2m + 1\) olmak üzere fonksiyon şu şekildedir: $$M = e^{-z/2} \cdot z^{m+\frac{1}{2}} \cdot {}_1F_1(a;\, b;\, z).$$ Konfluent hipergeometrik seri \({}_1F_1\), \(\text{terim}_n = \text{terim}_{n-1} \cdot \frac{a + n - 1}{b + n - 1} \cdot \frac{z}{n}\) yineleme bağıntısı kullanılarak terim terim toplanır; başlangıç değeri \(\text{terim}_0 = 1\)'dir. Terimler, çalışan toplam yanında ihmal edilebilir hâle gelene kadar eklenir ve sonsuz döngüleri önlemek için bir üst sınıra bağlanır.

Reklam

\(M_{k,m}(z)\), bir üstel azalma, bir kuvvet çarpanı ve Kummer \({}_1F_1\) serisinin çarpımıdır.

Çözümlü örnek

\(k = 2\), \(m = 3\), \(z = 0.5\) alalım. Bu durumda \(a = 3 - 2 + 0.5 = 1.5\) ve \(b = 7\) olur. \({}_1F_1(1.5;\, 7;\, 0.5)\) serisi yaklaşık \(1.1160881\) değerine yakınsar. Öndeki çarpan ise \(e^{-0.25} = 0.7788008\) ile \(0.5^{3.5} = 0.0883883\)'ün çarpımı, yani \(0.0688384\)'tür. Bunu seriyle çarptığımızda \(M_{2,3}(0.5) \approx 0.0768344\) elde edilir.

Sıkça Sorulan Sorular

\(z\) neden pozitif olmalı? Tam sayı olmayan \(m + \frac{1}{2}\) için \(z^{m+1/2}\) çarpanı \(z \leq 0\) olduğunda çok değerli ya da karmaşık hâle gelir; bu nedenle reel bir sonuç için \(z > 0\) gerekir. \(z = 0\) noktasında, \(m + \frac{1}{2} > 0\) olduğunda fonksiyon \(0\)'dır.

\(2m+1\) pozitif olmayan bir tam sayıysa ne olur? Paydadaki Pochhammer sembolü sıfıra ulaşır ve seri tanımsız kalır; bu durumda hesaplayıcı \(0\) döndürür, \(m\) değerini değiştirmeniz gerekir.

Seri her zaman yakınsar mı? Evet, \({}_1F_1\) fonksiyonu \(z\)'de tamdır (entire); ancak büyük \(|z|\) değerlerinde yavaş yakınsar ve düz çift duyarlıkta doğruluk kaybına uğrayabilir.