휘태커 함수 M_{k,m}(z)란?
제1종 휘태커 함수 \(M_{k,m}(z)\)는 다음의 휘태커 미분방정식을 푸는 특수 함수입니다: $$y'' + \left( \frac{1}{4} - \frac{k}{z} + \frac{m^2 - \frac{1}{4}}{z^2} \right) y = 0.$$ 이 방정식의 일반해는 \(M_{k,m}(z)\)와 제2종 휘태커 함수 \(W_{k,m}(z)\)의 조합으로 표현됩니다. 본 계산기는 이 중에서 쿠머의 합류 초기하함수로 구성된 정칙해(regular solution)인 \(M_{k,m}(z)\)만을 반환합니다. 이 함수는 방사형 쿨롱 파동함수나 포물선 원기둥 문제 등 수리물리학 전반에 등장합니다. 순수 수학에 속하는 보편적인 함수이므로 특정 지역에 한정된 가정은 전혀 없습니다.
계산기 사용법
세 개의 실수를 입력하세요: 매개변수 \(k\)와 \(m\), 그리고 인수 \(z\)입니다. \(m\)이 정수가 아닐 때 \(z^{m+1/2}\)가 실수 값을 갖도록 \(z > 0\)으로 설정해야 합니다. 또한 \(2m+1\)이 0 이하의 정수가 되는 \(m\) 값(\(m = 0, -1/2, -1, \ldots\))은 급수의 분모에 극점을 만들기 때문에 피해야 합니다. 정밀도 선택 옵션은 표시되는 자릿수만 조절할 뿐이며, 내부 계산은 배정밀도(double precision)로 수행되어 적당한 범위의 입력값(대략 \(|z|\)가 30 정도까지)에서 정확합니다.
공식 풀이
\(a = m - k + \frac{1}{2}\), \(b = 2m + 1\)로 두면, 함수는 $$M = e^{-z/2} \cdot z^{m+1/2} \cdot {}_1F_1(a; b; z)$$로 표현됩니다. 합류 초기하급수 \({}_1F_1\)은 \(\text{term}_0 = 1\)에서 시작하여 점화식 \(\text{term}_n = \text{term}_{n-1} \cdot \frac{a + n - 1}{b + n - 1} \cdot \frac{z}{n}\)을 통해 항별로 합산됩니다. 각 항은 누적 합에 비해 무시할 수 있을 만큼 작아질 때까지 더해지며, 무한 루프를 방지하기 위해 상한이 설정되어 있습니다.
계산 예시
\(k = 2\), \(m = 3\), \(z = 0.5\)인 경우를 살펴봅시다. 그러면 \(a = 3 - 2 + 0.5 = 1.5\), \(b = 7\)이 됩니다. 급수 \({}_1F_1(1.5; 7; 0.5)\)는 약 \(1.1160881\)로 수렴합니다. 앞쪽 계수는 \(e^{-0.25} = 0.7788008\)에 \(0.5^{3.5} = 0.0883883\)을 곱한 \(0.0688384\)입니다. 여기에 급수 값을 곱하면 \(M_{2,3}(0.5)\)는 약 \(0.0768344\)가 됩니다.
자주 묻는 질문
왜 \(z\)는 양수여야 하나요? \(m + 1/2\)가 정수가 아닐 때, \(z \le 0\)에서는 \(z^{m+1/2}\) 항이 다가(multi-valued)이거나 복소수가 됩니다. 따라서 실수 결과를 얻으려면 \(z > 0\)이어야 합니다. \(z = 0\)일 때는 \(m + 1/2 > 0\)이면 함수 값이 0입니다.
\(2m+1\)이 0 이하의 정수이면 어떻게 되나요? 분모의 포흐하머 기호(Pochhammer symbol)가 0이 되어 급수가 정의되지 않습니다. 이 경우 계산기는 0을 반환하므로 \(m\) 값을 변경해야 합니다.
급수는 항상 수렴하나요? 네, \({}_1F_1\)은 \(z\)에 대해 전해석(entire) 함수입니다. 다만 \(|z|\)가 클 때는 수렴이 느리고 일반적인 배정밀도에서는 정확도가 떨어질 수 있습니다.
