별 모양 계산기란?
별 다각형은 익숙한 오각별, 다윗의 별이라 불리는 육각별처럼, 큰 원(반지름 R) 위에 놓인 n개의 바깥 꼭짓점과 작은 원(반지름 r) 위에 놓인 n개의 안쪽 꼭짓점으로 이루어진 도형입니다. 이 계산기는 단 세 개의 입력값만으로 별이 둘러싼 넓이, 각 변의 길이, 전체 둘레를 한 번에 구해 줍니다.
사용 방법
꼭짓점 개수 n(3 이상), 바깥 반지름 R(중심에서 별의 뾰족한 끝까지), 안쪽 반지름 r(중심에서 두 꼭짓점 사이의 골까지)을 입력하세요. 그러면 넓이(제곱 단위), 한 변의 길이, 그리고 둘레(별의 변은 모두 2n개)가 즉시 계산되어 나타납니다.
공식 풀이
별은 모양이 똑같은 2n개의 삼각형으로 나눌 수 있습니다. 각 삼각형은 중심각의 절반인 \(\frac{\pi}{n}\) 만큼의 각을 가지며, 두 변의 길이는 각각 \(R\)과 \(r\)입니다. 이 삼각형 하나의 넓이는 \(\frac{1}{2} \cdot R \cdot r \cdot \sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)\)이고, 이런 삼각형이 2n개 있으므로 다음과 같은 간결한 결과를 얻습니다.
$$A = n \cdot r \cdot R \cdot \sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$
반지름 \(R\) 위의 바깥 꼭짓점과 각도 \(\frac{\pi}{n}\)만큼 떨어진 반지름 \(r\)의 이웃한 안쪽 꼭짓점을 잇는 변의 길이는 $$e = \sqrt{\left(R - r\cos\tfrac{\pi}{n}\right)^{2} + \left(r\sin\tfrac{\pi}{n}\right)^{2}}$$이며, 둘레는 \(2n \cdot e\)가 됩니다.
계산 예시
\(R = 10\), \(r = 5\)인 전형적인 오각별을 살펴보겠습니다. 넓이는 $$A = 5 \cdot 5 \cdot 10 \cdot \sin(36°) = 250 \cdot 0.587785 \approx 146.95$$ 제곱 단위입니다. 변의 길이는 $$\sqrt{(10 - 5\cdot\cos 36°)^{2} + (5\cdot\sin 36°)^{2}} = \sqrt{(10 - 4.0451)^{2} + (2.9389)^{2}} \approx \sqrt{35.46 + 8.64} \approx 6.6408$$이므로, 둘레는 \(10 \cdot 6.6408 \approx 66.41\)이 됩니다.
자주 묻는 질문
꼭짓점 개수에 상관없이 사용할 수 있나요? 네, \(n \geq 3\)이면 어떤 값이든 입력할 수 있습니다. \(n = 3\)이면 삼각별이 만들어집니다.
R과 r이 같으면 어떻게 되나요? 오목한 골이 사라지면서 정2n각형이 됩니다. 이 경우에도 넓이 공식은 그대로 성립합니다.
어떤 단위를 사용하나요? 일관된 단위라면 무엇이든 가능합니다. \(R\)과 \(r\)을 센티미터로 입력하면 넓이는 제곱센티미터, 둘레는 센티미터로 나옵니다.
