तारा आकृति कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

नुकीले बिंदुओं की संख्या (n)

बाहरी त्रिज्या (R)

भीतरी त्रिज्या (r)

सूत्र (फॉर्मूला)

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1. Star Perimeter

   

   Perimeter sums all 2n edges; each edge runs from an outer point to an adjacent inner vertex.

परिणाम

तारा बहुभुज का क्षेत्रफल

146.95

वर्ग इकाई

नुकीले बिंदुओं की संख्या	5
भुजा की लंबाई	6.6407
परिमाप	66.41

तारा आकृति कैलकुलेटर क्या है?

एक तारा बहुभुज (वही जाना-पहचाना 5-नुकीला तारा, 6-नुकीला डेविड का सितारा, इत्यादि) n बाहरी नुकीले बिंदुओं से बनता है जो R त्रिज्या वाले बड़े वृत्त पर होते हैं, और n भीतरी कोनों से जो r त्रिज्या वाले छोटे वृत्त पर होते हैं। यह कैलकुलेटर सिर्फ़ तीन इनपुट से ऐसे तारे का घिरा हुआ क्षेत्रफल, हर भुजा की लंबाई और कुल परिमाप निकाल देता है।

इसका उपयोग कैसे करें

नुकीले बिंदुओं की संख्या n (3 या उससे अधिक), बाहरी त्रिज्या R (केंद्र से किसी नोक तक) और भीतरी त्रिज्या r (केंद्र से दो नोकों के बीच की घाटी तक) भरें। कैलकुलेटर तुरंत क्षेत्रफल वर्ग इकाइयों में, एक तिरछी भुजा की लंबाई और परिमाप दिखा देगा (तारे में कुल \(2n\) भुजाएँ होती हैं)।

सूत्र की व्याख्या

तारे को \(2n\) एक जैसे त्रिभुजों में बाँटा जा सकता है, जिनमें से हर एक का अर्ध-कोण \(\pi/n\) होता है और भुजाएँ \(R\) व \(r\) होती हैं। ऐसे हर त्रिभुज का क्षेत्रफल \(\tfrac{1}{2}\cdot R\cdot r\cdot\sin(\pi/n)\) होता है, और कुल \(2n\) त्रिभुज होने से यह सरल परिणाम मिलता है:

$$A = n \cdot r \cdot R \cdot \sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$

\(R\) त्रिज्या पर स्थित बाहरी नोक को उसके बगल वाले \(r\) त्रिज्या पर स्थित भीतरी कोने (जो \(\pi/n\) कोण से हटा हुआ है) से जोड़ने वाली भुजा की लंबाई $$e = \sqrt{\left(R - r\cos\tfrac{\pi}{n}\right)^{2} + \left(r\sin\tfrac{\pi}{n}\right)^{2}}$$ होती है, और परिमाप \(2n\cdot e\) होता है।

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तारे का क्षेत्रफल \(2n\) सर्वांगसम त्रिभुजों के बराबर होता है, जो सरल होकर \(A = n\cdot r\cdot R\cdot\sin(\pi/n)\) बन जाता है।

एक तारा बहुभुज जो अपनी बाहरी त्रिज्या \(R\) (नोकों तक) और भीतरी त्रिज्या \(r\) (भीतरी खाँचों तक) से परिभाषित होता है, जिसमें \(n\) नोकें होती हैं।

हल किया हुआ उदाहरण

एक पारंपरिक 5-नुकीले तारे के लिए, जहाँ \(R = 10\) और \(r = 5\): $$A = 5 \cdot 5 \cdot 10 \cdot \sin(36°) = 250 \cdot 0.587785 \approx 146.95$$ वर्ग इकाई। भुजा की लंबाई $$\sqrt{(10 - 5\cdot\cos 36°)^{2} + (5\cdot\sin 36°)^{2}} = \sqrt{(10 - 4.0451)^{2} + (2.9389)^{2}} \approx \sqrt{35.46 + 8.64} \approx 6.6408$$ होगी, इसलिए परिमाप \(10 \cdot 6.6408 \approx 66.41\) होगा।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

क्या यह किसी भी संख्या के नुकीले बिंदुओं के लिए काम करता है? हाँ — कोई भी \(n \ge 3\) भरें। \(n = 3\) पर आपको तीन-नुकीला तारा मिलेगा।

अगर R और r बराबर हों तो क्या होगा? तब आकृति एक नियमित \(2n\)-भुजी बहुभुज बन जाती है (कोई अंदर धँसी घाटियाँ नहीं), और क्षेत्रफल का सूत्र फिर भी लागू रहता है।

यह कौन-सी इकाइयाँ इस्तेमाल करता है? कोई भी एक समान इकाई। अगर \(R\) और \(r\) सेंटीमीटर में हैं, तो क्षेत्रफल वर्ग सेंटीमीटर में और परिमाप सेंटीमीटर में आएगा।