परिणाम

परिवृत्त त्रिज्या (R)

2.5

परिवृत्त की त्रिज्या

व्यास	5
त्रिभुज का क्षेत्रफल	6
वृत्त की परिधि	15.708
वृत्त का क्षेत्रफल	19.635

परिवृत्त (Circumscribed Circle) क्या है?

परिवृत्त वह अद्वितीय वृत्त है जो किसी त्रिभुज के तीनों शीर्षों (vertices) से होकर गुज़रता है। इसका केंद्र परिकेंद्र (circumcentre) कहलाता है — यह वह बिंदु है जो हर शीर्ष से बराबर दूरी पर रहता है, और इसकी त्रिज्या को परिवृत्त त्रिज्या (circumradius), यानी $R$ कहते हैं। हर त्रिभुज का ठीक एक ही परिवृत्त होता है, इसीलिए यह ज्यामिति, त्रिकोणमिति और इंजीनियरिंग के लेआउट कार्यों की एक बुनियादी अवधारणा है।

वृत्त में अंतर्निहित त्रिभुज, जिसमें परिकेंद्र और परित्रिज्या अंकित हैं — परिवृत्त त्रिभुज के तीनों शीर्षों से होकर गुजरता है; $R$ इसकी त्रिज्या है।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

अपने त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाई — $a$, $b$ और $c$ — किसी एक समान इकाई (सेमी, मीटर, इंच आदि) में दर्ज करें। कैलकुलेटर पहले हीरोन के सूत्र से त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालता है, फिर परिवृत्त त्रिज्या के साथ-साथ वृत्त का व्यास, परिधि और घेरा हुआ क्षेत्रफल बताता है। ध्यान रखें कि तीनों भुजाएँ वास्तव में एक मान्य त्रिभुज बनाती हों — हर भुजा बाकी दो के योग से छोटी होनी चाहिए।

सूत्र की व्याख्या

परिवृत्त त्रिज्या इस सूत्र से मिलती है: $$R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot \text{क्षेत्रफल}}$$ ऊँचाई जाने बिना क्षेत्रफल निकालने के लिए हम हीरोन का सूत्र इस्तेमाल करते हैं। पहले अर्ध-परिमाप निकालें: $$s = \frac{a + b + c}{2}$$ फिर $$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$ इस क्षेत्रफल को पहले समीकरण में रखने पर त्रिज्या मिल जाती है। व्यास $= 2R$, वृत्त की परिधि $= 2\pi R$, और वृत्त का क्षेत्रफल $= \pi R^2$ होता है।

भुजाओं a, b, c वाला त्रिभुज जिसका क्षेत्रफल उभरा हुआ है, R त्रिज्या के परिवृत्त के साथ — परित्रिज्या तीनों भुजाओं की लंबाई और त्रिभुज के क्षेत्रफल पर निर्भर करती है।

हल किया गया उदाहरण

3-4-5 वाला समकोण त्रिभुज लीजिए। अर्ध-परिमाप $$s = \frac{3+4+5}{2} = 6$$ होगा। हीरोन के सूत्र से क्षेत्रफल $$= \sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \sqrt{36} = 6$$ मिलता है। फिर $$R = \frac{3 \cdot 4 \cdot 5}{4 \cdot 6} = \frac{60}{24} = 2.5$$ यह उस ज्ञात तथ्य से मेल खाता है कि समकोण त्रिभुज में परिवृत्त त्रिज्या कर्ण (hypotenuse) की आधी होती है ($5/2 = 2.5$)।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

क्या हर त्रिभुज का परिवृत्त होता है? हाँ। कोई भी तीन असंरेखीय (non-collinear) बिंदु ठीक एक वृत्त बनाते हैं, इसलिए हर मान्य त्रिभुज का एक परिवृत्त ज़रूर होता है।

समकोण त्रिभुज में परिकेंद्र कहाँ होता है? यह कर्ण के मध्यबिंदु पर होता है, इसीलिए $R$ कर्ण की आधी लंबाई के बराबर होती है।

अगर मेरी भुजाएँ त्रिभुज ही न बनाएँ तो? अगर क्षेत्रफल शून्य या अपरिभाषित आता है, तो भुजाओं की लंबाई त्रिभुज असमानता (triangle inequality) का उल्लंघन करती है और कोई वास्तविक वृत्त संभव नहीं है।

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