外接円とは？
外接円とは、三角形の3つの頂点すべてを通る、ただ1つの円のことです。その中心は「外心」と呼ばれ、各頂点から等しい距離にある点です。そして、その半径を「外接円の半径」と呼び、記号Rで表します。どんな三角形にも外接円はちょうど1つだけ存在します。そのため外接円は、幾何学や三角法、さらには建築・土木の設計作業においても基本となる重要な概念です。
この計算ツールの使い方
三角形の3辺の長さ（a・b・c）を入力してください。単位はcm・m・インチなど、3辺で揃っていればどれでも構いません。本ツールはまずヘロンの公式で三角形の面積を求め、続いて外接円の半径を算出します。あわせて、円の直径・円周・面積も表示します。なお、入力した3辺が実際に三角形を形づくれることを確認してください。どの辺も、残り2辺の和よりも短くなければなりません。
計算式の解説
外接円の半径は
$$R = \frac{a \times b \times c}{4 \times \text{面積}}$$で求められます。高さがわからなくても面積を計算できるよう、ここではヘロンの公式を使います。まず半周長
$$s = \frac{a+b+c}{2}$$を求め、次に
$$\text{面積} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$を計算します。この面積を最初の式に代入すれば半径が得られます。直径は \(2R\)、円周は \(2\pi R\)、円の面積は \(\pi R^2\) です。
計算例
3・4・5の直角三角形を例に考えてみましょう。半周長は
$$s = \frac{3+4+5}{2} = 6$$です。ヘロンの公式より
$$\text{面積} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6$$となります。すると
$$R = \frac{3 \times 4 \times 5}{4 \times 6} = \frac{60}{24} = 2.5$$です。これは「直角三角形の外接円の半径は斜辺の半分に等しい」という性質（\(5/2 = 2.5\)）と一致します。
よくある質問
どんな三角形にも外接円はありますか？ はい、あります。一直線上にない3点は必ず1つの円を定めるため、成立する三角形には必ず1つの外接円が存在します。
直角三角形の外心はどこにありますか？ 斜辺の中点にあります。これが、Rが斜辺の半分に等しくなる理由です。
入力した3辺で三角形ができない場合は？ 面積が0になったり計算できなかったりする場合、その辺の長さは三角不等式を満たしておらず、実在する円は存在しません。
