この計算ツールでできること
このツールでは、与えられた半径rの円に外接する正多角形について、辺の長さと面積を計算します。「円に外接する」とは、多角形が円を囲むように描かれ、すべての辺が円にちょうど接している（接線になっている）状態を指します。このとき円は多角形に内接しており、rはどの正多角形においてもアポテム（内接円半径）、すなわち多角形の中心から各辺の中点までの垂直距離に等しくなります。辺の数nを指定した範囲で変化させて一覧表を作成し、それぞれの多角形の面積を円の面積と比較します。
使い方
まず円の半径r（選んだ長さの単位で任意の正の数）を入力し、続いて辺の数の最小値（nMin、3以上）と最大値（nMax）を指定します。計算ツールはnMinからnMaxまでの各整数nについて1行ずつ生成し、辺の長さaと多角形の面積Spを表示します。円の面積Scは表の上部に表示されます。表は最大200行までです。
計算式の解説
多角形の各辺は中心角\(2\pi/n\)に対応します。辺を接点で半分に分けると、対辺が\(a/2\)、隣辺が\(r\)の直角三角形ができるので、\(a/2 = r\cdot\tan(\pi/n)\)、すなわち$$a = 2r\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$となります。多角形は底辺\(a\)・高さ\(r\)のn個の三角形に分割できるため、$$S_p = \tfrac{1}{2}\,n\,a\,r = n\,r^2\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$です。内接する円の面積は$$S_c = \pi r^2$$です。外接する多角形は常に円を内側に含むため、\(S_p\)は必ず\(S_c\)より大きく、nが大きくなるにつれて\(S_p\)は\(S_c\)に近づいていきます。
計算例
r = 1の正六角形（n = 6）の場合：$$a = 2\cdot\tan\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2\cdot 0.57735 = 1.15470$$ $$S_p = 6\cdot 1\cdot 0.57735 = 3.46410$$ 円の面積は\(S_c = \pi \approx 3.14159\) となり、多角形の面積が円の面積より大きいことが確認できます。
よくある質問
rは辺の長さですか、それともアポテムですか？ ここでのrはアポテム（内接円半径）です。多角形が円を囲んでいるため、円の半径は各辺までの垂直距離に等しくなります。
なぜ多角形の面積は円の面積より大きいのですか？ 外接する多角形は常に円を内側に含むため、面積は必ず円より大きくなります。辺の数が増えるにつれて、両者の値は近づいていきます。
どの単位が使われますか？ rは任意の長さの単位です。辺の長さも同じ単位で、面積はその単位の2乗になります。単位の変換は行われません。
