正多角形とは？
正多角形とは、すべての辺の長さが等しく、すべての内角も等しい閉じた図形のことです。身近な例としては、正三角形（3辺）、正方形（4辺）、正五角形（5辺）、正六角形（6辺）などが挙げられます。辺も角もすべて同じなので、主要な値はわずか2つの情報——辺の数 \(n\) と一辺の長さ \(s\) ——から求めることができます。
この計算ツールの使い方
辺の数（3以上の整数なら何でもOK）と、一辺の長さを入力してください。すると、面積・周の長さ・アポテム（内接円半径。中心から辺の中点までの距離）・外接円半径（中心から頂点までの距離）、そして内角と外角がその場で表示されます。
計算式の解説
面積の計算にはコタンジェント（余接）関数を使い、
$$A = \frac{1}{4} \, n \, s^2 \, \cot\left(\frac{\pi}{n}\right)$$で求めます。辺の数が増えるほど図形は円に近づいていき、このコタンジェントの項がその性質を反映しています。周の長さはシンプルに \(P = n \times s\) です。アポテムは \(a = \dfrac{s}{2 \times \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)}\)、外接円半径は \(R = \dfrac{s}{2 \times \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}\) で計算します。1つの内角は \(\dfrac{(n-2) \times 180}{n}\) 度になります。
計算例
一辺の長さ \(s = 10\) の正六角形（\(n = 6\)）で考えてみましょう。周の長さは \(6 \times 10 = 60\)。面積は
$$A = \frac{1}{4} \times 6 \times 10^2 \times \cot\left(\frac{\pi}{6}\right) = 150 \times 1.7320508 \approx 259.81$$（平方単位）となります。内角は \(\dfrac{(6-2) \times 180}{6} = 120^\circ\) です。
よくある質問（FAQ）
辺の数は最低いくつ必要ですか？ 多角形には少なくとも3つの辺が必要なため、このツールでは \(n \geq 3\) で入力してください。
単位は何を使いますか？ このツールは単位に依存しません。入力した単位がそのまま結果に反映されます。たとえば一辺を cm で入力すれば、面積は cm² で表示されます。
辺の数が非常に多い多角形でも計算できますか？ もちろんです。\(n\) が大きくなるほど、面積と周の長さは、対応する外接円半径を持つ円の値に近づいていきます。
