Что такое правильный многоугольник?
Правильный многоугольник — это замкнутая фигура, у которой все стороны равны по длине, а все внутренние углы одинаковы. Самые известные примеры: равносторонний треугольник (3 стороны), квадрат (4 стороны), пятиугольник (5), шестиугольник (6) и так далее. Поскольку каждая сторона и каждый угол идентичны, все ключевые характеристики фигуры можно вычислить всего по двум значениям — числу сторон \(n\) и длине стороны \(s\).
Как пользоваться калькулятором
Введите число сторон (любое целое число от 3 и выше) и длину одной стороны. Калькулятор мгновенно покажет площадь, периметр, апофему (радиус вписанной окружности, то есть расстояние от центра до середины стороны), радиус описанной окружности (расстояние от центра до вершины), а также внутренний и внешний углы.
Разбор формул
Для площади используется функция котангенса: $$A = \frac{1}{4}\,n\,s^2\,\cot\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$ По мере роста числа сторон многоугольник всё больше приближается к окружности, и член с котангенсом как раз отражает эту геометрию. Периметр считается совсем просто: $$P = n \times s$$ Апофема равна \(a = \dfrac{s}{2\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)}\), а радиус описанной окружности — \(R = \dfrac{s}{2\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}\). Каждый внутренний угол составляет \(\dfrac{(n-2)\cdot 180}{n}\) градусов.
Пример расчёта
Возьмём правильный шестиугольник (\(n = 6\)) со стороной \(s = 10\). Периметр равен \(6 \times 10 = 60\) единиц. Площадь: $$\frac{1}{4} \times 6 \times 10^2 \times \cot\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = 150 \times 1{,}7320508 \approx 259{,}81$$ квадратных единиц. Внутренний угол: \(\frac{(6-2)\cdot 180}{6} = 120°\).
Частые вопросы
Какое минимальное число сторон? У многоугольника должно быть не менее 3 сторон, поэтому калькулятор требует, чтобы \(n \geq 3\).
В каких единицах ведётся расчёт? Калькулятор не привязан к конкретным единицам измерения — результат получается в тех же единицах, что вы вводите. Если длина стороны указана в сантиметрах, то площадь будет в см².
Работает ли он для многоугольников с большим числом сторон? Да. С ростом \(n\) площадь и периметр стремятся к значениям для окружности с соответствующим радиусом описанной окружности.
