Что такое двенадцатиугольник?
Двенадцатиугольник (додекагон) — это многоугольник с 12 сторонами и 12 углами. У правильного двенадцатиугольника все стороны равны между собой, а каждый внутренний угол составляет 150°. Этот калькулятор вычисляет площадь и периметр правильного двенадцатиугольника по одному-единственному измерению — длине стороны a.
Как пользоваться калькулятором
Введите длину одной стороны двенадцатиугольника и нажмите «Рассчитать». Калькулятор покажет площадь фигуры (в квадратных единицах) и общий периметр. Единица измерения, которую вы выбрали для стороны (см, м, дюймы), определяет единицу результата — площадь получится в этой же единице, возведённой в квадрат.
Разбор формулы
Точная площадь правильного двенадцатиугольника равна:
$$A = 3\left(2 + \sqrt{3}\right)\,a^{2}$$
Эта формула вытекает из общей формулы площади правильного многоугольника \(A = \frac{1}{4}\cdot n\cdot a^{2}\cdot \cot\left(\frac{\pi}{n}\right)\) при \(n = 12\). Поскольку \(\cot\left(\frac{\pi}{12}\right) = 2 + \sqrt{3}\), постоянный множитель упрощается до \(3\left(2 + \sqrt{3}\right) \approx 11{,}196152\). Периметр же — это просто длина стороны, умноженная на 12.
Пример расчёта
Допустим, каждая сторона правильного двенадцатиугольника равна 10 единицам. Тогда:
$$A = 3 \times \left(2 + 1{,}7320508\right) \times 10^{2} = 3 \times 3{,}7320508 \times 100 = \textbf{1119{,}62 квадратных единиц}$$, а периметр равен \(12 \times 10 = 120\) единиц.
Частые вопросы
Подходит ли калькулятор для неправильных двенадцатиугольников? Нет. Формула рассчитана на правильный двенадцатиугольник, у которого все стороны и углы равны. Неправильные фигуры нужно разбивать на треугольники.
Что означает постоянная \(3\left(2+\sqrt{3}\right)\)? Это примерно \(11{,}196152\) — площадь правильного двенадцатиугольника со стороной, равной ровно 1.
Можно ли использовать любые единицы измерения? Да — результат просто берётся как квадрат той единицы длины, которую вы ввели для стороны.
