Калькулятор двойного угла

Введите расчет

Угол (x)

Единица измерения угла Degrees Radians

Результатов

sin(2x)

0,866025

for 2x = 60° equivalent

cos(2x)	0,5
tan(2x)	1,732051

Что такое калькулятор двойного угла?

Калькулятор двойного угла вычисляет три основных тригонометрических тождества для удвоенного угла — sin(2x), cos(2x) и tan(2x) — для любого введённого вами угла. Эти формулы выражают тригонометрические функции удвоенного угла (2x) через исходный угол (x) и постоянно встречаются в математическом анализе, физике, обработке сигналов и в задачах на экзаменах (ЕГЭ, контрольные, вузовские задания).

Как пользоваться калькулятором

Введите угол x, а затем выберите единицу измерения — градусы или радианы. Калькулятор переведёт значение в радианы, удвоит угол и выдаст синус, косинус и тангенс для 2x. Если cos(2x) равен нулю (например, при x = 45°), то tan(2x) не определён — об этом будет сообщено отдельно, поскольку знаменатель обращается в ноль.

Разбор формул

Все формулы выводятся из тождеств для суммы углов, если оба угла принять равными x:

$$\sin(2x) ,\quad \cos(2x) ,\quad \tan(2x) = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}$$

• \(\sin(2x) = 2 \sin x \cos x\) — следует из формулы \(\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\).
• \(\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x\) — следует из формулы \(\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\). Эквивалентные записи: \(1 - 2\sin^2 x\) и \(2\cos^2 x - 1\).
• \(\tan(2x) = \dfrac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}\) — следует из формулы тангенса суммы.

Реклама

Синус, косинус и тангенс x — основа формул двойного угла.

Угол x и его удвоение 2x на единичной окружности.

Пример с решением

Пусть \(x = 30°\). Тогда \(2x = 60°\). Значит, \(\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866025\), \(\cos(60°) = 0{,}5\), а \(\tan(60°) = \sqrt{3} \approx 1{,}732051\). Проверим по формулам:

$$2 \sin 30° \cos 30° = 2(0{,}5)(0{,}866025) = 0{,}866025 \checkmark$$

и

$$\cos^2 30° - \sin^2 30° = 0{,}75 - 0{,}25 = 0{,}5 \checkmark$$

Частые вопросы

Почему tan(2x) иногда не определён? Когда \(\cos(2x) = 0\) (например, при \(x = 45°\), тогда \(2x = 90°\)), деление на ноль делает тангенс неопределённым.

Можно ли вводить отрицательные углы? Да. Отрицательные и большие углы работают корректно — результаты подчиняются обычной периодичности тригонометрических функций.

Градусы или радианы? Выбирайте ту единицу, которая используется в вашей задаче. Значение 2x для удобства также показано в градусах.