ما هي حاسبة ضعف الزاوية؟
تقوم حاسبة ضعف الزاوية بحساب المتطابقات المثلثية الثلاث الأساسية لضعف الزاوية — جا(2س) وجتا(2س) وظا(2س) — لأي زاوية تُدخلها. تعبّر هذه المتطابقات عن الدوال المثلثية لزاوية مُضاعفة (2س) بدلالة الزاوية الأصلية (س)، وهي تظهر باستمرار في التفاضل والتكامل والفيزياء ومعالجة الإشارات وأسئلة الامتحانات.
طريقة الاستخدام
أدخل الزاوية س، ثم اختر ما إذا كانت القيمة بالدرجات أم بالراديان. تحوّل الحاسبة القيمة داخليًا إلى الراديان، ثم تضاعف الزاوية، وتعيد جيب وجيب تمام وظل الزاوية 2س. وإذا كانت قيمة جتا(2س) تساوي صفرًا (مثلًا عند س = 45°)، فإن ظا(2س) تكون غير مُعرَّفة ويُشار إليها بذلك لأن المقام يتلاشى.
شرح الصيغ
انطلاقًا من متطابقات مجموع الزوايا مع جعل الزاويتين متساويتين تساوي س:
• \( \sin(2x) = 2 \sin x \cos x \) — مُشتقة من \( \sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \).
• \( \cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x \) — مُشتقة من \( \cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b \). وهناك صيغ مكافئة هي \( 1 - 2\sin^2 x \) و\( 2\cos^2 x - 1 \).
• \( \tan(2x) = \dfrac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x} \) — مُشتقة من صيغة جمع الظل.
مثال محلول
لنفترض أن س = 30°. إذن 2س = 60°. وبالتالي \( \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866025 \)، و\( \cos(60°) = 0.5 \)، و\( \tan(60°) = \sqrt{3} \approx 1.732051 \). وباستخدام المتطابقات:
$$ 2 \sin 30° \cos 30° = 2(0.5)(0.866025) = 0.866025 \checkmark $$ $$ \cos^2 30° - \sin^2 30° = 0.75 - 0.25 = 0.5 \checkmark $$الأسئلة الشائعة
لماذا تكون ظا(2س) غير مُعرَّفة أحيانًا؟ عندما تكون \( \cos(2x) = 0 \) (مثلًا س = 45°، و2س = 90°)، تؤدي القسمة على صفر إلى جعل الظل غير مُعرَّف.
هل يمكنني إدخال زوايا سالبة؟ نعم. تعمل الزوايا السالبة والكبيرة دون مشكلة، وتتبع النتائج الدورية المعتادة للدوال المثلثية.
الدرجات أم الراديان؟ اختر ما تستخدمه مسألتك. كما تُعرض قيمة 2س المكافئة بالدرجات للرجوع إليها.
