ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
عند إدخال طرفي قطر الدائرة، تستخرج هذه الأداة معادلة الدائرة كاملةً بالصيغة القياسية: \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\). كما تعرض إحداثيات المركز (h، k)، ونصف القطر r، وطول القطر بالكامل، وقيمة \(r^2\) (الطرف الأيمن من المعادلة). إنها أداة هندسية صرفة تعمل مع أي زوج من النقاط في المستوى الإحداثي.
طريقة الاستخدام
أدخل إحداثيات طرف القطر الأول على الصورة (x₁، y₁) والطرف الثاني على الصورة (x₂، y₂). يُسمح باستخدام القيم السالبة والعشرية. اضغط على زر الحساب لتظهر لك المعادلة وجميع القيم المرتبطة بها. يجب أن تكون النقطتان مختلفتين؛ فإذا تطابقتا نتجت دائرة منحلّة نصف قطرها يساوي صفرًا.
شرح القانون
بما أن القطر يمر بالمركز، فإن المركز يقع تمامًا عند منتصف طرفي القطر: \(h = \dfrac{x_1 + x_2}{2}\) و \(k = \dfrac{y_1 + y_2}{2}\). أما طول القطر فهو المسافة بين الطرفين، ويُحسب بقانون المسافة \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)، ونصف القطر يساوي نصف هذه المسافة. وبتعويض المركز وقيمة \(r^2\) في المعادلة التالية نحصل على معادلة الدائرة.
$$\begin{gathered} (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} h &= \dfrac{x_1 + x_2}{2} \\ k &= \dfrac{y_1 + y_2}{2} \\ r &= \dfrac{\sqrt{\left(x_2 - x_1\right)^2 + \left(y_2 - y_1\right)^2}}{2} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
مثال محلول
طرفا القطر هما (−2، 3) و (4، 11). المركز: \(\left(\dfrac{-2+4}{2}, \dfrac{3+11}{2}\right) = (1, 7)\). طول القطر:
$$\sqrt{(4-(-2))^2 + (11-3)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$
إذًا \(r = 5\) و \(r^2 = 25\). وتكون المعادلة:
$$(x - 1)^2 + (y - 7)^2 = 25$$
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان طرفا القطر نقطة واحدة؟ يصبح نصف القطر صفرًا وتتحول «الدائرة» إلى نقطة واحدة، وتصير المعادلة \((x - h)^2 + (y - k)^2 = 0\).
هل يؤثر ترتيب النقطتين في النتيجة؟ لا. فمنتصف القطعة والمسافة بينهما متماثلان، لذا فإن تبديل الطرفين يعطي الدائرة نفسها.
هل يمكنني استخدام إحداثيات سالبة أو عشرية؟ نعم، تعمل الأداة مع أي أعداد حقيقية، بما في ذلك السالبة والكسور والأعداد العشرية.
