À quoi sert ce calculateur
À partir des deux extrémités du diamètre d'un cercle, cet outil détermine l'équation complète sous forme canonique, \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\). Il indique également le centre \((h, k)\), le rayon \(r\), la longueur totale du diamètre, ainsi que \(r^2\) (le membre de droite de l'équation). Il s'agit d'un outil de géométrie pure, valable pour n'importe quel couple de points dans le plan cartésien.
Comment l'utiliser
Saisissez les coordonnées de la première extrémité du diamètre sous la forme \((x_1, y_1)\) et celles de la seconde sous la forme \((x_2, y_2)\). Les valeurs négatives et décimales sont acceptées. Cliquez sur « Calculer » pour afficher l'équation et toutes les valeurs intermédiaires. Les deux points doivent être distincts : des points identiques donnent un cercle dégénéré de rayon nul.
La formule expliquée
Un diamètre passe par le centre : celui-ci correspond donc exactement au milieu des deux extrémités, soit \(h = \dfrac{x_1 + x_2}{2}\) et \(k = \dfrac{y_1 + y_2}{2}\). La longueur du diamètre est la distance entre les deux extrémités, obtenue avec la formule de la distance \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\). Le rayon en vaut la moitié. En reportant le centre et \(r^2\) dans l'équation, on obtient l'équation du cercle.
$$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \\[1.5em] \text{où}\quad \left\{ \begin{aligned} h &= \dfrac{x_1 + x_2}{2} \\ k &= \dfrac{y_1 + y_2}{2} \\ r &= \dfrac{\sqrt{\left(x_2 - x_1\right)^2 + \left(y_2 - y_1\right)^2}}{2} \end{aligned} \right.$$
Exemple détaillé
Extrémités \((-2, 3)\) et \((4, 11)\). Centre : \(\left(\dfrac{-2+4}{2}, \dfrac{3+11}{2}\right) = (1, 7)\). Diamètre :
$$\sqrt{(4-(-2))^2 + (11-3)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$d'où \(r = 5\) et \(r^2 = 25\). L'équation est donc :
$$(x - 1)^2 + (y - 7)^2 = 25$$Questions fréquentes
Que se passe-t-il si les deux extrémités sont identiques ? Le rayon vaut \(0\) et le « cercle » se réduit à un seul point ; l'équation devient alors \((x - h)^2 + (y - k)^2 = 0\).
L'ordre des points a-t-il une importance ? Non. Le milieu et la distance sont symétriques : intervertir les extrémités donne exactement le même cercle.
Puis-je utiliser des coordonnées négatives ou décimales ? Oui — tous les nombres réels conviennent, y compris les négatifs et les fractions ou décimaux.
