這個計算機的功能
只要給定圓直徑的兩個端點，這個工具就能求出圓的完整標準式方程式 \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\)。同時也會列出圓心 \((h, k)\)、半徑 \(r\)、整條直徑的長度，以及 \(r^2\)（也就是方程式等號右邊的值）。這是一個純幾何工具，適用於座標平面上任意兩個相異點。
使用方法
請輸入第一個直徑端點的座標 \((x_1, y_1)\)，再輸入第二個端點的座標 \((x_2, y_2)\)。可以輸入負數與小數。按下計算後，即可看到圓的方程式以及所有相關數值。兩個點必須相異——若輸入完全相同的點，會得到半徑為 0 的退化圓。
公式說明
由於直徑必定通過圓心，因此圓心恰好是兩端點的中點：\(h = (x_1 + x_2) / 2\)、\(k = (y_1 + y_2) / 2\)。直徑長度就是兩端點之間的距離，可用距離公式 \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) 求得，半徑則是直徑的一半。把圓心與 \(r^2\) 代入下式，即可得到圓的方程式。
$$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} h &= \dfrac{x_1 + x_2}{2} \\ k &= \dfrac{y_1 + y_2}{2} \\ r &= \dfrac{\sqrt{\left(x_2 - x_1\right)^2 + \left(y_2 - y_1\right)^2}}{2} \end{aligned} \right.$$
實際範例
假設端點為 \((-2, 3)\) 與 \((4, 11)\)。圓心：$$\left(\frac{-2+4}{2}, \frac{3+11}{2}\right) = (1, 7)$$直徑 $$= \sqrt{(4-(-2))^2 + (11-3)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$所以 \(r = 5\)、\(r^2 = 25\)。最後得到的方程式為 $$(x - 1)^2 + (y - 7)^2 = 25$$
常見問題
如果兩個端點是同一個點會怎樣？此時半徑為 0，這個「圓」就退化成單一一個點，方程式變成 \((x - h)^2 + (y - k)^2 = 0\)。
輸入兩點的先後順序有影響嗎？沒有影響。中點與距離都具有對稱性，因此即使把兩個端點對調，也會得到完全相同的圓。
可以輸入負數或小數座標嗎？可以——任何實數都行，包括負數與分數／小數。
