Ecuación de una circunferencia a partir de los extremos del diámetro

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Extremo 1 — x₁

Extremo 1 — y₁

Extremo 2 — x₂

Extremo 2 — y₂

Resultados

Ecuación de la circunferencia

(x − 1)² + (y − 7)² = 25

forma canónica (x − h)² + (y − k)² = r²

Centro (h, k)	(1, 7)
Radio (r)	5
Diámetro	10
r²	25

Qué hace esta calculadora

A partir de los dos extremos del diámetro de una circunferencia, esta herramienta obtiene la ecuación completa en forma canónica, \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\). Además, te indica el centro (h, k), el radio r, la longitud total del diámetro y r² (el segundo miembro de la ecuación). Es una herramienta puramente geométrica que funciona con cualquier par de puntos del plano cartesiano.

Cómo usarla

Introduce las coordenadas del primer extremo del diámetro como (x₁, y₁) y las del segundo como (x₂, y₂). Se admiten valores negativos y decimales. Pulsa calcular para ver la ecuación y todos los datos asociados. Los dos puntos deben ser distintos: si introduces puntos idénticos obtendrás una circunferencia degenerada de radio 0.

La fórmula explicada

Un diámetro pasa por el centro, así que el centro coincide exactamente con el punto medio de los dos extremos: \(h = \frac{x_1 + x_2}{2}\) y \(k = \frac{y_1 + y_2}{2}\). La longitud del diámetro es la distancia entre los extremos, que se obtiene con la fórmula de la distancia \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\). El radio es la mitad de ese valor. Al sustituir el centro y r² en \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\) se obtiene la ecuación.

$$\begin{gathered} (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} h &= \dfrac{\text{x}_1 + \text{x}_2}{2} \\ k &= \dfrac{\text{y}_1 + \text{y}_2}{2} \\ r &= \dfrac{\sqrt{\left(\text{x}_2 - \text{x}_1\right)^2 + \left(\text{y}_2 - \text{y}_1\right)^2}}{2} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$

El centro es el punto medio de los extremos del diámetro, y el radio es la mitad de la distancia entre ellos.

Ejemplo resuelto

Extremos (−2, 3) y (4, 11). Centro: \(\left(\frac{-2+4}{2}, \frac{3+11}{2}\right) = (1, 7)\). Diámetro:

$$\text{Diámetro} = \sqrt{(4-(-2))^2 + (11-3)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$

de modo que r = 5 y r² = 25. La ecuación es \((x - 1)^2 + (y - 7)^2 = 25\).

Preguntas frecuentes

¿Qué pasa si los dos extremos son el mismo punto? El radio vale 0 y la «circunferencia» se reduce a un único punto; la ecuación queda \((x - h)^2 + (y - k)^2 = 0\).

¿Importa el orden de los puntos? No. El punto medio y la distancia son simétricos, así que intercambiar los extremos da la misma circunferencia.

¿Puedo usar coordenadas negativas o decimales? Sí: vale cualquier número real, incluidos negativos y fracciones o decimales.