¿Qué es la forma general de una circunferencia?
La manera más intuitiva de describir una circunferencia es la forma canónica (o forma estándar): \((x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}\), donde \((h, k)\) es el centro y \(r\) el radio. Si desarrollas esa expresión y agrupas los términos, obtienes la forma general: \(x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0\). Esta calculadora realiza la conversión por ti y te devuelve los tres coeficientes D, E y F.
Cómo usar esta calculadora
Introduce la coordenada x del centro (h), la coordenada y del centro (k) y el radio (r). La herramienta calcula al instante los coeficientes de la forma general y muestra la ecuación completa. Admite sin problemas centros con valores negativos y radios decimales.
La fórmula paso a paso
Partiendo de \((x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}\), desarrollamos: \(x^{2} - 2hx + h^{2} + y^{2} - 2ky + k^{2} = r^{2}\). Pasamos todo a un mismo lado: \(x^{2} + y^{2} - 2hx - 2ky + (h^{2} + k^{2} - r^{2}) = 0\). Al comparar con \(x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0\) obtenemos:
$$D = -2h, \quad E = -2k, \quad F = h^{2} + k^{2} - r^{2}$$
Ejemplo resuelto
Tomemos una circunferencia de centro \((3, -2)\) y radio 4. Entonces \(D = -2(3) = -6\), \(E = -2(-2) = 4\) y $$F = 3^{2} + (-2)^{2} - 4^{2} = 9 + 4 - 16 = -3.$$ Por lo tanto, la forma general es \(x^{2} + y^{2} - 6x + 4y - 3 = 0\).
Preguntas frecuentes
¿Puedo volver al centro y al radio? Sí: a partir de D, E y F recuperas \(h = -D/2\), \(k = -E/2\) y \(r = \sqrt{h^{2} + k^{2} - F}\).
¿Qué ocurre si F hace que el radio sea imaginario? Si \(h^{2} + k^{2} - F\) es negativo, no existe una circunferencia real (sería una «circunferencia imaginaria»); para que el radio sea válido se necesita \(r^{2} = h^{2} + k^{2} - F \geq 0\).
¿Importa el orden de D y E? D siempre multiplica a x y E siempre multiplica a y, así que mantén cada coeficiente emparejado con su variable correspondiente.
