Что такое общее уравнение окружности?
Окружность проще всего задавать в каноническом виде: \((x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}\), где \((h, k)\) — координаты центра, а \(r\) — радиус. Если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, получится общий вид уравнения: \(x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0\). Этот калькулятор выполняет такое преобразование за вас и сразу выдаёт три коэффициента — D, E и F.
Как пользоваться калькулятором
Введите абсциссу центра (h), ординату центра (k) и радиус (r). Инструмент мгновенно вычислит коэффициенты общего уравнения и покажет уравнение целиком. Отрицательные координаты центра и дробные значения радиуса поддерживаются полностью.
Разбор формулы
Начнём с канонического вида \((x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}\) и раскроем скобки: \(x^{2} - 2hx + h^{2} + y^{2} - 2ky + k^{2} = r^{2}\). Перенесём всё в левую часть: \(x^{2} + y^{2} - 2hx - 2ky + (h^{2} + k^{2} - r^{2}) = 0\). Сопоставляя это с уравнением \(x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0\), получаем:
$$D = -2h, \quad E = -2k, \quad F = h^{2} + k^{2} - r^{2}$$
Пример с решением
Возьмём окружность с центром \((3, -2)\) и радиусом 4. Тогда \(D = -2(3) = -6\), \(E = -2(-2) = 4\), а \(F = 3^{2} + (-2)^{2} - 4^{2} = 9 + 4 - 16 = -3\). Значит, общее уравнение выглядит так:
$$x^{2} + y^{2} - 6x + 4y - 3 = 0$$Частые вопросы
Можно ли вернуться к центру и радиусу? Да. По известным D, E, F восстанавливаем \(h = -D/2\), \(k = -E/2\) и \(r = \sqrt{h^{2} + k^{2} - F}\).
Что делать, если радиус получается мнимым? Если выражение \(h^{2} + k^{2} - F\) отрицательно, действительной окружности не существует (так называемая «мнимая окружность»). Для корректного радиуса необходимо, чтобы \(r^{2} = h^{2} + k^{2} - F \geq 0\).
Важен ли порядок коэффициентов D и E? Коэффициент D всегда стоит при x, а E — при y, поэтому держите каждый из них в паре со своей переменной.
