Что такое уравнение окружности в стандартном виде?
Окружность — это множество всех точек плоскости, удалённых на одно и то же расстояние (радиус r) от фиксированной точки, которую называют центром и задают координатами (h, k). Стандартный вид (его ещё называют формой «центр — радиус») записывается так: $$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$ Этот калькулятор мгновенно составляет такое уравнение по введённым вами центру и радиусу, а заодно вычисляет диаметр, длину окружности, площадь и эквивалентное уравнение в общем виде.
Как пользоваться калькулятором
Введите координату x центра (h), координату y центра (k) и радиус (r). Калькулятор подставит эти значения прямо в стандартную форму и рассчитает остальные величины. При радиусе 0 окружность вырождается в одну точку, поэтому для настоящей окружности задавайте положительный радиус.
Разбираем формулу
Стандартный вид напрямую следует из формулы расстояния. Расстояние между любой точкой (x, y) на окружности и её центром (h, k) равно \(r\), то есть \(\sqrt{(x-h)^2 + (y-k)^2} = r\). Возведя обе части в квадрат, получаем $$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$ Если раскрыть скобки, выходит общий вид \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\), где \(D = -2h\), \(E = -2k\), а \(F = h^2 + k^2 - r^2\).
Пример с решением
Пусть центр находится в точке (3, −2), а радиус равен 5. Тогда стандартное уравнение имеет вид \((x - 3)^2 + (y - (-2))^2 = 5^2\), что упрощается до $$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$$ Диаметр равен \(2 \times 5 = 10\), длина окружности — \(2\pi(5) \approx 31{,}42\), а площадь — \(\pi(5^2) \approx 78{,}54\). В общем виде: \(D = -6\), \(E = 4\), \(F = 9 + 4 - 25 = -12\), то есть $$x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$$
Частые вопросы
Что если центр совпадает с началом координат? При \(h = 0\) и \(k = 0\) уравнение упрощается до \(x^2 + y^2 = r^2\).
Как найти радиус по стандартному уравнению? Правая часть равна \(r^2\), поэтому достаточно извлечь из неё квадратный корень и получить \(r\).
Может ли радиус быть отрицательным? Нет. Радиус — это расстояние, поэтому он должен быть нулевым или положительным. В уравнении используется только \(r^2\), так что отрицательное значение не задаёт никакой реальной окружности.
