Phương trình chính tắc của đường tròn là gì?
Đường tròn là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng cách đều một điểm cố định một khoảng không đổi — chính là bán kính r. Điểm cố định đó gọi là tâm, có tọa độ (h, k). Phương trình chính tắc (hay dạng tâm – bán kính) của đường tròn được viết là \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\). Công cụ này lập ngay phương trình đó từ tâm và bán kính bạn nhập vào, đồng thời cho biết đường kính, chu vi, diện tích cũng như phương trình tổng quát tương đương.
Cách sử dụng máy tính
Bạn hãy nhập hoành độ của tâm (h), tung độ của tâm (k) và bán kính (r). Máy tính sẽ thay trực tiếp các giá trị này vào dạng chính tắc rồi tính thêm các đại lượng còn lại. Nếu bán kính bằng 0, đường tròn thu lại thành một điểm, vì vậy hãy nhập bán kính dương để có một đường tròn thực sự.
Giải thích công thức
Dạng chính tắc được suy ra trực tiếp từ công thức tính khoảng cách. Khoảng cách từ một điểm bất kỳ (x, y) nằm trên đường tròn đến tâm (h, k) luôn bằng r, nên \(\sqrt{(x-h)^2 + (y-k)^2} = r\). Bình phương hai vế ta được $$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2.$$ Khai triển biểu thức này sẽ cho phương trình tổng quát \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\), với \(D = -2h\), \(E = -2k\) và \(F = h^2 + k^2 - r^2\).
Ví dụ minh họa
Giả sử tâm là (3, −2) và bán kính bằng 5. Phương trình chính tắc sẽ là \((x - 3)^2 + (y - (-2))^2 = 5^2\), rút gọn thành $$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25.$$ Đường kính là \(2 \times 5 = 10\), chu vi là \(2\pi(5) \approx 31{,}42\), còn diện tích là \(\pi(5^2) \approx 78{,}54\). Ở dạng tổng quát: \(D = -6\), \(E = 4\), \(F = 9 + 4 - 25 = -12\), ta thu được \(x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0\).
Câu hỏi thường gặp
Nếu tâm nằm tại gốc tọa độ thì sao? Khi \(h = 0\) và \(k = 0\), phương trình rút gọn thành \(x^2 + y^2 = r^2\).
Làm thế nào để tìm bán kính từ phương trình chính tắc? Vế phải của phương trình chính bằng \(r^2\), vì vậy chỉ cần lấy căn bậc hai của nó là ra \(r\).
Bán kính có thể âm không? Không. Bán kính là một khoảng cách nên phải bằng 0 hoặc dương; phương trình chỉ dùng đến \(r^2\), do đó một giá trị âm sẽ không mô tả được đường tròn thực nào cả.
