Çemberin Standart Denklemi Nedir?
Çember, bir düzlemde merkez adı verilen sabit bir noktadan eşit uzaklıkta — yani r yarıçapı kadar — bulunan tüm noktaların oluşturduğu kümedir. Bu merkez, (h, k) koordinatlarıyla gösterilir. Çember denkleminin standart (ya da merkez-yarıçap) formu şudur: $$\left(x - h\right)^2 + \left(y - k\right)^2 = r^{\,2}$$. Bu hesaplama aracı, girdiğiniz merkez ve yarıçap değerlerinden bu denklemi anında oluşturur; ayrıca çapı, çevreyi, alanı ve denkliğin genel formunu da gösterir.
Hesaplama Aracı Nasıl Kullanılır?
Merkezin x koordinatını (h), merkezin y koordinatını (k) ve yarıçapı (r) girin. Araç bu değerleri doğrudan standart forma yerleştirir ve ek ölçüleri hesaplar. Yarıçapın 0 olması çemberi tek bir noktaya indirger; bu nedenle gerçek bir çember için pozitif bir yarıçap kullanın.
Formülün Açıklaması
Standart form, doğrudan uzaklık formülünden türetilir. Çember üzerindeki herhangi bir (x, y) noktası ile merkez (h, k) arasındaki uzaklık r'ye eşittir; yani \(\sqrt{(x-h)^2 + (y-k)^2} = r\). Her iki tarafın karesini aldığımızda $$\left(x - h\right)^2 + \left(y - k\right)^2 = r^{\,2}$$ elde edilir. Bu ifadeyi açtığımızda \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\) şeklindeki genel form ortaya çıkar; burada \(D = -2h\), \(E = -2k\) ve \(F = h^2 + k^2 - r^2\)'dir.
Örnek Çözüm
Merkezin (3, −2) ve yarıçapın 5 olduğunu varsayalım. Standart denklem \((x - 3)^2 + (y - (-2))^2 = 5^2\) olur ve bu da $$\left(x - 3\right)^2 + \left(y + 2\right)^2 = 25$$ şeklinde sadeleşir. Çap \(2 \times 5 = 10\), çevre \(2\pi(5) \approx 31{,}42\) ve alan \(\pi(5^2) \approx 78{,}54\)'tür. Genel formda: \(D = -6\), \(E = 4\), \(F = 9 + 4 - 25 = -12\) olur ve denklem \(x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0\) halini alır.
Sıkça Sorulan Sorular
Merkez orijinde ise ne olur? \(h = 0\) ve \(k = 0\) olduğunda denklem \(x^2 + y^2 = r^2\) şeklinde sadeleşir.
Standart denklemden yarıçapı nasıl bulurum? Eşitliğin sağ tarafı \(r^2\)'ye eşittir; bu nedenle karekökünü alarak r'yi elde edersiniz.
Yarıçap negatif olabilir mi? Hayır. Yarıçap bir uzaklıktır ve sıfır veya pozitif olmak zorundadır. Denklem yalnızca \(r^2\)'yi kullandığından, negatif bir değer gerçek bir çemberi tanımlamaz.
