Qu'est-ce que l'équation canonique d'un cercle ?
Un cercle est l'ensemble des points d'un plan situés à une distance fixe — le rayon r — d'un point fixe appelé centre, dont les coordonnées s'écrivent (h, k). La forme canonique (ou forme centre-rayon) de l'équation d'un cercle s'écrit \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\). Ce calculateur établit cette équation instantanément à partir du centre et du rayon que vous saisissez, et fournit également le diamètre, la circonférence, l'aire ainsi que la forme générale équivalente.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez l'abscisse du centre (h), l'ordonnée du centre (k) et le rayon (r). Le calculateur reporte directement ces valeurs dans la forme canonique et calcule les mesures complémentaires. Un rayon égal à 0 réduit le cercle à un point unique : utilisez donc un rayon strictement positif pour obtenir un véritable cercle.
La formule expliquée
La forme canonique découle directement de la formule de la distance. La distance entre un point quelconque (x, y) du cercle et le centre (h, k) vaut r, soit \(\sqrt{(x-h)^2 + (y-k)^2} = r\). En élevant les deux membres au carré, on obtient $$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2.$$ En développant, on aboutit à la forme générale \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\), où \(D = -2h\), \(E = -2k\) et \(F = h^2 + k^2 - r^2\).
Exemple résolu
Supposons que le centre soit (3, −2) et le rayon égal à 5. L'équation canonique est \((x - 3)^2 + (y - (-2))^2 = 5^2\), qui se simplifie en $$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25.$$ Le diamètre vaut \(2 \times 5 = 10\), la circonférence \(2\pi(5) \approx 31{,}42\) et l'aire \(\pi(5^2) \approx 78{,}54\). Sous forme générale : \(D = -6\), \(E = 4\), \(F = 9 + 4 - 25 = -12\), ce qui donne \(x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0\).
Questions fréquentes
Que se passe-t-il si le centre est à l'origine ? Lorsque \(h = 0\) et \(k = 0\), l'équation se simplifie en \(x^2 + y^2 = r^2\).
Comment retrouver le rayon à partir de l'équation canonique ? Le membre de droite est égal à \(r^2\) : il suffit d'en extraire la racine carrée pour obtenir \(r\).
Le rayon peut-il être négatif ? Non. Le rayon est une distance et doit être nul ou positif ; comme l'équation n'utilise que \(r^2\), une valeur négative ne décrirait aucun cercle réel.
