वृत्त का मानक समीकरण क्या होता है?
वृत्त किसी समतल में उन सभी बिंदुओं का समूह होता है जो एक निश्चित बिंदु से एक तय दूरी — यानी त्रिज्या \(r\) — पर स्थित होते हैं। इस निश्चित बिंदु को केंद्र कहते हैं, जिसे निर्देशांक \((h, k)\) के रूप में लिखा जाता है। वृत्त के समीकरण का मानक रूप (या केंद्र-त्रिज्या रूप) होता है $$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$ यह कैलकुलेटर आपके द्वारा दर्ज किए गए केंद्र और त्रिज्या से तुरंत यह समीकरण बना देता है, और साथ ही व्यास, परिधि, क्षेत्रफल और समतुल्य व्यापक रूप भी बता देता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
केंद्र का x-निर्देशांक \((h)\), केंद्र का y-निर्देशांक \((k)\), और त्रिज्या \((r)\) दर्ज करें। कैलकुलेटर इन मानों को सीधे मानक रूप में रखकर समीकरण बना देता है और बाकी मापें गणना कर देता है। ध्यान रहे कि त्रिज्या \(0\) होने पर वृत्त सिकुड़कर केवल एक बिंदु रह जाता है, इसलिए वास्तविक वृत्त के लिए धनात्मक त्रिज्या का उपयोग करें।
सूत्र की व्याख्या
मानक रूप सीधे दूरी सूत्र से निकलता है। वृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु \((x, y)\) और केंद्र \((h, k)\) के बीच की दूरी \(r\) के बराबर होती है, इसलिए \(\sqrt{(x-h)^2 + (y-k)^2} = r\)। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर मिलता है $$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$ इसका विस्तार करने पर व्यापक रूप बनता है \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\), जहाँ \(D = -2h\), \(E = -2k\), और \(F = h^2 + k^2 - r^2\)।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए केंद्र \((3, -2)\) है और त्रिज्या \(5\) है। मानक समीकरण होगा \((x - 3)^2 + (y - (-2))^2 = 5^2\), जो सरल होकर $$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$$ बन जाता है। व्यास \(= 2 \times 5 = 10\), परिधि \(= 2\pi(5) \approx 31.42\), और क्षेत्रफल \(= \pi(5^2) \approx 78.54\)। व्यापक रूप में: \(D = -6\), \(E = 4\), \(F = 9 + 4 - 25 = -12\), जिससे समीकरण बनता है $$x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$$
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
अगर केंद्र मूल बिंदु (origin) पर हो तो? जब \(h = 0\) और \(k = 0\) हो, तो समीकरण सरल होकर \(x^2 + y^2 = r^2\) बन जाता है।
मानक समीकरण से त्रिज्या कैसे निकालें? दाहिनी ओर का मान \(r^2\) के बराबर होता है, इसलिए उसका वर्गमूल लेने पर \(r\) मिल जाती है।
क्या त्रिज्या ऋणात्मक हो सकती है? नहीं। त्रिज्या एक दूरी है, इसलिए यह शून्य या धनात्मक ही होनी चाहिए। समीकरण में केवल \(r^2\) का उपयोग होता है, अतः ऋणात्मक मान किसी वास्तविक वृत्त को नहीं दर्शाएगा।
