원의 표준방정식이란?
원은 평면 위에서 한 점(중심)으로부터 같은 거리(반지름 r)에 있는 모든 점들의 집합입니다. 중심은 좌표 (h, k)로 나타냅니다. 원의 표준방정식(또는 중심-반지름 형태)은 \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\)입니다. 이 계산기는 입력한 중심과 반지름으로 방정식을 즉시 만들어 주고, 지름·둘레·넓이는 물론 같은 원을 나타내는 일반형까지 함께 보여 줍니다.
계산기 사용법
중심의 x좌표(h), 중심의 y좌표(k), 그리고 반지름(r)을 입력하세요. 계산기가 이 값들을 표준형에 그대로 대입하고 나머지 값까지 계산합니다. 반지름이 0이면 원은 한 점으로 줄어들기 때문에, 실제 원을 그리려면 양수인 반지름을 입력해야 합니다.
공식 이해하기
표준형은 거리 공식에서 곧바로 유도됩니다. 원 위의 임의의 점 (x, y)와 중심 (h, k) 사이의 거리는 r과 같으므로 \(\sqrt{(x-h)^2 + (y-k)^2} = r\) 이 성립합니다. 양변을 제곱하면 다음과 같이 됩니다.
$$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$이를 전개하면 일반형 \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\) 이 나오는데, 이때 \(D = -2h\), \(E = -2k\), \(F = h^2 + k^2 - r^2\) 입니다.
예제 풀이
중심이 (3, −2)이고 반지름이 5라고 합시다. 표준방정식은 \((x - 3)^2 + (y - (-2))^2 = 5^2\)이며, 이를 정리하면 다음과 같이 됩니다.
$$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$$지름은 \(2 \times 5 = 10\), 둘레는 \(2\pi(5) \approx 31.42\), 넓이는 \(\pi(5^2) \approx 78.54\)입니다. 일반형으로는 \(D = -6\), \(E = 4\), \(F = 9 + 4 - 25 = -12\) 이므로 \(x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0\) 이 됩니다.
자주 묻는 질문
중심이 원점에 있으면 어떻게 되나요? \(h = 0\), \(k = 0\)일 때는 방정식이 \(x^2 + y^2 = r^2\)으로 간단해집니다.
표준방정식에서 반지름을 어떻게 구하나요? 우변이 \(r^2\)과 같으므로, 그 제곱근을 구하면 반지름 r을 얻을 수 있습니다.
반지름이 음수일 수 있나요? 아니요. 반지름은 거리이므로 0 이상이어야 합니다. 방정식은 \(r^2\)만 사용하기 때문에 음수를 넣으면 실제로 존재하는 원을 나타내지 못합니다.
