완전제곱식 활용: 원의 방정식 계산기

계산 입력

D (x의 계수)

E (y의 계수)

F (상수항)

일반형: x² + y² + Dx + Ey + F = 0

결과

원의 중심

(3, -4)

Radius = 4

중심 x좌표 (h)	3
중심 y좌표 (k)	-4
반지름² (r²)	16
반지름 (r)	4

이 계산기의 기능

이 도구는 일반형 \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\)으로 주어진 원의 방정식을 표준형 \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\)로 바꿔 줍니다. x항과 y항 각각에 완전제곱식을 적용한 뒤, 원의 중심 (h, k)와 반지름 r를 알려 줍니다. 계수 D, E, F 세 개만 입력하면 결과가 바로 나타납니다.

사용 방법

먼저 본인의 방정식을 \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\) 형태에 맞춰 보세요. x 앞의 계수가 D, y 앞의 계수가 E, 따로 떨어진 상수항이 F입니다. 부호에 주의해야 합니다. 예를 들어 \(x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0\)에서는 \(D = -6\), \(E = 8\), \(F = 9\)입니다. 만약 \(x^2\)과 \(y^2\)에 계수가 붙어 있다면(예: \(2x^2 + 2y^2 + \ldots\)), 먼저 방정식 전체를 그 수로 나눠 제곱항의 계수를 1로 만들어 주세요.

공식 풀이

\(x^2 + Dx\)에 완전제곱식을 적용하려면 \((D/2)^2\)을 더하고 다시 빼 줍니다. y항도 마찬가지로 \((E/2)^2\)을 사용합니다. 상수를 우변으로 옮기면 다음과 같이 됩니다.

$$\left(x + \frac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 = \frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F$$

따라서 중심은 \((-D/2, -E/2)\)이고, 반지름은 우변 값의 제곱근입니다. 이 값이 음수이면 실수 범위의 원은 존재하지 않으며, 0이면 방정식은 하나의 점을 나타냅니다.

표준형은 중심 (h, k)와 반지름 r을 바로 알려줍니다.

예제 풀이

\(x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0\)을 보면 \(D = -6\), \(E = 8\), \(F = 9\)입니다. 중심 \(= (-(-6)/2, -8/2) = (3, -4)\). \(\text{반지름}^2 = \frac{36}{4} + \frac{64}{4} - 9 = 9 + 16 - 9 = 16\)이므로 \(r = 4\)입니다. 즉 이 원은 중심이 (3, −4)이고 반지름이 4입니다.

완전제곱식은 빠진 모서리 조각을 더해 완전한 정사각형을 만듭니다.

자주 묻는 질문

반지름이 허수로 나오면 어떻게 되나요? \(\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F\)가 음수이면 실수 해가 존재하지 않으므로 실제 원을 나타내지 않습니다.

중심이 원점에 올 수도 있나요? 네. \(D = 0\)이고 \(E = 0\)이면 중심은 (0, 0)이 되고 \(r = \sqrt{-F}\)입니다.

왜 최고차항의 계수로 먼저 나눠야 하나요? 이 공식은 \(x^2\)과 \(y^2\)의 계수가 모두 1이라고 가정하기 때문입니다. 이는 일반형 원의 방정식이 갖는 본질적인 조건입니다.