أدخل الحساب

نتائج

مركز الدائرة

(٣, ؜-٤)

Radius = ٤

إحداثي المركز x (h)	٣
إحداثي المركز y (k)	؜-٤
مربع نصف القطر (r²)	١٦
نصف القطر (r)	٤

ماذا تفعل هذه الحاسبة

تحوّل هذه الأداة معادلة الدائرة المكتوبة بـالصيغة العامة، أي $x^2 + y^2 + \text{D}x + \text{E}y + \text{F} = 0$، إلى الصيغة القياسية، أي $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$. وتقوم بذلك عبر إكمال المربع لكلٍّ من حدود x وحدود y، ثم تعرض لك مركز الدائرة (h، k) ونصف القطر r. ما عليك سوى إدخال المعاملات الثلاثة D وE وF لتظهر النتيجة في الحال.

طريقة الاستخدام

طابِق معادلتك مع الصيغة $x^2 + y^2 + \text{D}x + \text{E}y + \text{F} = 0$. المعامل الذي يسبق x هو D، والمعامل الذي يسبق y هو E، والثابت المنفرد هو F. انتبه إلى الإشارات: ففي المعادلة $x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0$ يكون $\text{D} = -6$ و$\text{E} = 8$ و$\text{F} = 9$. وإذا كانت معادلتك تحتوي على معاملات أمام $x^2$ و$y^2$ (مثل $2x^2 + 2y^2 + \ldots$)، فاقسم المعادلة كاملةً على ذلك العدد أولًا حتى يصبح معامل الحدّين المربّعين مساويًا 1.

شرح القانون

عند إكمال المربع للمقدار $x^2 + \text{D}x$ نضيف ونطرح $(\text{D}/2)^2$، وكذلك نضيف ونطرح $(\text{E}/2)^2$ لحدود y. وبنقل الثوابت إلى الطرف الأيمن نحصل على $$\left(x + \frac{\text{D}}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{\text{E}}{2}\right)^2 = \frac{\text{D}^2}{4} + \frac{\text{E}^2}{4} - \text{F}.$$ وعليه يكون المركز عند النقطة $(-\text{D}/2,\ -\text{E}/2)$، ويساوي نصف القطر الجذر التربيعي للطرف الأيمن. فإذا كانت تلك القيمة سالبة فلا توجد دائرة حقيقية، وإذا كانت صفرًا فإن المعادلة تمثّل نقطة واحدة فقط.

دائرة على محاور إحداثية تُظهر نقطة المركز ونصف القطر — الصيغة القياسية تعطي المركز (h, k) ونصف القطر r مباشرة.

مثال محلول

لنأخذ المعادلة $x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0$، حيث $\text{D} = -6$ و$\text{E} = 8$ و$\text{F} = 9$. يكون المركز $$= \left(-\frac{-6}{2},\ -\frac{8}{2}\right) = (3,\ -4).$$ ومربع نصف القطر $$= \frac{36}{4} + \frac{64}{4} - 9 = 9 + 16 - 9 = 16,$$ أي إن $r = 4$. إذن مركز الدائرة عند النقطة (3، −4) ونصف قطرها يساوي 4.

إكمال هندسي للمربع بإضافة قطعة الزاوية لتكوين مربع كامل — إكمال المربع يضيف قطعة الزاوية الناقصة لتكوين مربع كامل.

الأسئلة الشائعة

ماذا لو كان نصف القطر تخيليًا؟ إذا كانت قيمة $\dfrac{\text{D}^2}{4} + \dfrac{\text{E}^2}{4} - \text{F}$ سالبة، فإن المعادلة ليس لها حلول حقيقية ولا تمثّل دائرة فعلية.

هل يمكن أن يكون المركز عند نقطة الأصل؟ نعم؛ فعندما يكون $\text{D} = 0$ و$\text{E} = 0$، يقع المركز عند النقطة (0، 0) ويساوي $r = \sqrt{-\text{F}}$.

لماذا نقسم على المعامل الرئيسي أولًا؟ لأن القوانين تفترض أن معاملَي $x^2$ و$y^2$ يساويان 1، وهذه هي الخاصية التي تميّز معادلة الدائرة في صيغتها العامة.

الآلات الحاسبة ذات الصلة