この計算機でできること
このツールは、一般形 \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\) で表された円を、標準形 \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\) に変換します。x の項と y の項のそれぞれについて平方完成を行い、円の中心 \((h, k)\) と半径 \(r\) を求めます。3つの係数 D・E・F を入力するだけで、結果がすぐに表示されます。
使い方
お手元の方程式を \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\) の形に合わせてください。x の前の係数が D、y の前の係数が E、単独の定数項が F です。符号には注意しましょう。たとえば \(x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0\) では、\(D = -6\)、\(E = 8\)、\(F = 9\) となります。もし \(x^2\) や \(y^2\) に係数が付いている場合（たとえば \(2x^2 + 2y^2 + \ldots\) のとき）は、まず方程式全体をその数で割り、2乗の項の係数を 1 にしてから入力してください。
計算式の解説
\(x^2 + Dx\) について平方完成するには、\((D/2)^2\) を足して引きます。y の項についても同様に \((E/2)^2\) を使います。定数を右辺に移すと、 $$(x + D/2)^2 + (y + E/2)^2 = \frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F$$ となります。したがって中心は \((-D/2, -E/2)\)、半径は右辺の平方根です。この値が負のときは実数の円は存在せず、0 のときは方程式は1つの点を表します。
計算例
\(x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0\) を考えると、\(D = -6\)、\(E = 8\)、\(F = 9\) です。 $$\text{中心} = \left(-\frac{-6}{2}, -\frac{8}{2}\right) = (3, -4)$$ $$r^2 = \frac{36}{4} + \frac{64}{4} - 9 = 9 + 16 - 9 = 16$$ なので、\(r = 4\)。つまり、この円は中心 \((3, -4)\)、半径 4 となります。
よくある質問
半径が虚数になったらどうなりますか？ \(\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F\) が負のとき、方程式には実数解がなく、実際の円を表しません。
中心が原点になることはありますか？ はい。\(D = 0\) かつ \(E = 0\) のとき、中心は \((0, 0)\)、半径は \(r = \sqrt{-F}\) となります。
なぜ先頭の係数で割る必要があるのですか？ この計算式は \(x^2\) と \(y^2\) の係数がどちらも 1 であることを前提としています。これは一般形における円の定義そのものだからです。
