円の方程式とは？
円とは、平面上で「ある決まった点（中心 (h, k)）」から一定の距離（半径 r）にある点をすべて集めた図形です。この計算ツールでは、中心の座標と半径を入力するだけで、円の方程式の標準形と一般形の両方を求められます。さらに、直径・円周・面積もまとめて算出します。
使い方
中心の x 座標（h）、中心の y 座標（k）、そして半径（r）を入力します。「計算」を押すと、標準形の方程式、展開した一般形、そして主要な数値が表示されます。半径が 0 のときは点が 1 つになるだけなので、本来の円を求めたい場合は正の値を入力してください。
公式の解説
標準形は、2 点間の距離の公式からそのまま導けます。任意の点 (x, y) から中心 (h, k) までの距離が r に等しいことから、\(\sqrt{(x-h)^2 + (y-k)^2} = r\) となります。両辺を 2 乗すると
$$\left(x - h\right)^2 + \left(y - k\right)^2 = r^2$$が得られます。さらにこの 2 乗の項を展開すると、一般形
$$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$になります。ここで \(D = -2h\)、\(E = -2k\)、\(F = h^2 + k^2 - r^2\) です。
計算例
中心が (3, −2)、半径が 5 の場合を考えてみましょう。\(r^2 = 25\) なので、標準形は
$$\left(x - 3\right)^2 + \left(y + 2\right)^2 = 25$$となります。一般形は、\(D = -6\)、\(E = 4\)、\(F = 3^2 + (-2)^2 - 25 = 9 + 4 - 25 = -12\) より、
$$x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$$です。直径は 10、円周は \(2\pi \cdot 5 \approx 31.42\)、面積は \(\pi \cdot 25 \approx 78.54\) になります。
よくある質問
中心が原点にある場合はどうなりますか？ \((h, k) = (0, 0)\) のとき、方程式は \(x^2 + y^2 = r^2\) と簡単な形になります。
一般形から中心と半径を求めるには？ 平方完成を使います。\(h = -D/2\)、\(k = -E/2\)、\(r = \sqrt{h^2 + k^2 - F}\) で求められます。
半径はマイナスになりますか？ いいえ。半径は距離なので、本ツールでは絶対値として扱います。
