Çember Denklemi Nedir?
Çember, bir düzlemde belirli bir merkez noktaya (h, k) sabit bir uzaklıkta — yani yarıçap r kadar uzaklıkta — bulunan tüm noktaların kümesidir. Bu hesaplama aracı, merkez koordinatlarını ve yarıçapı alarak çember denkleminin hem standart formunu hem de genel formunu üretir; ayrıca çap, çevre ve alan değerlerini de gösterir.
Hesaplama Aracı Nasıl Kullanılır?
Merkezin x koordinatını (h), merkezin y koordinatını (k) ve yarıçapı (r) girin. Hesapla düğmesine basarak standart form denklemini, açılmış haldeki genel formu ve temel ölçüleri görebilirsiniz. Yarıçapın 0 olması tek bir nokta verir; gerçek bir çember için pozitif bir değer kullanın.
Formülün Açıklaması
Standart form doğrudan uzaklık formülünden gelir: herhangi bir (x, y) noktasının merkeze (h, k) olan uzaklığı r'ye eşittir, yani \(\sqrt{(x-h)^2 + (y-k)^2} = r\) olur. Her iki tarafın karesini aldığımızda
$$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$$elde edilir. Kareleri açtığımızda ise genel form ortaya çıkar:
$$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$burada \(D = -2h\), \(E = -2k\) ve \(F = h^2 + k^2 - r^2\)'dir.
Çözümlü Örnek
Merkezin (3, −2) ve yarıçapın 5 olduğunu varsayalım. \(r^2 = 25\) olduğundan standart form \((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25\) şeklinde yazılır. Genel form için: \(D = -6\), \(E = 4\),
$$F = 3^2 + (-2)^2 - 25 = 9 + 4 - 25 = -12$$olur ve denklem \(x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0\) halini alır. Çap 10, çevre \(2\pi \cdot 5 \approx 31{,}42\) ve alan \(\pi \cdot 25 \approx 78{,}54\)'tür.
Sıkça Sorulan Sorular
Merkez orijinde ise ne olur? \((h, k) = (0, 0)\) olduğunda denklem \(x^2 + y^2 = r^2\) şekline sadeleşir.
Genel formdan merkez ve yarıçapı nasıl bulurum? Tam kare tamamlama yöntemini kullanın: \(h = -D/2\), \(k = -E/2\) ve \(r = \sqrt{h^2 + k^2 - F}\).
Yarıçap negatif olabilir mi? Hayır. Yarıçap bir uzaklık olduğundan, hesaplama aracı her zaman mutlak değerini kullanır.
