Qu'est-ce que l'équation d'un cercle ?
Un cercle est l'ensemble des points d'un plan situés à une distance fixe — le rayon r — d'un point central fixe (h, k). Ce calculateur prend les coordonnées du centre et le rayon, puis fournit à la fois la forme canonique et la forme générale de l'équation du cercle, ainsi que son diamètre, son périmètre et son aire.
Comment utiliser le calculateur
Saisissez l'abscisse du centre (h), l'ordonnée du centre (k) et le rayon (r). Lancez le calcul pour afficher l'équation sous forme canonique, sa forme générale développée et les principales mesures. Un rayon nul donne un point unique : utilisez donc une valeur positive pour obtenir un véritable cercle.
La formule expliquée
La forme canonique découle directement de la formule de distance : la distance entre un point quelconque \((x, y)\) et le centre \((h, k)\) vaut \(r\), donc \(\sqrt{(x-h)^2 + (y-k)^2} = r\). En élevant les deux membres au carré, on obtient $$\left(x - h\right)^2 + \left(y - k\right)^2 = r^2$$ En développant les carrés, on aboutit à la forme générale $$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$ où \(D = -2h\), \(E = -2k\) et \(F = h^2 + k^2 - r^2\).
Exemple résolu
Supposons que le centre soit \((3, -2)\) et le rayon égal à \(5\). La forme canonique s'écrit $$\left(x - 3\right)^2 + \left(y + 2\right)^2 = 25$$ puisque \(r^2 = 25\). La forme générale : \(D = -6\), \(E = 4\), \(F = 3^2 + (-2)^2 - 25 = 9 + 4 - 25 = -12\), ce qui donne $$x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$$ Le diamètre vaut \(10\), le périmètre est égal à \(2\pi \cdot 5 \approx 31{,}42\) et l'aire à \(\pi \cdot 25 \approx 78{,}54\).
FAQ
Et si le centre se trouve à l'origine ? Lorsque \((h, k) = (0, 0)\), l'équation se simplifie en \(x^2 + y^2 = r^2\).
Comment retrouver le centre et le rayon à partir de la forme générale ? Complétez le carré : \(h = -D/2\), \(k = -E/2\) et \(r = \sqrt{h^2 + k^2 - F}\).
Le rayon peut-il être négatif ? Non. Le rayon est une distance : le calculateur utilise donc sa valeur absolue.
