Что такое уравнение окружности?
Окружность — это множество всех точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии (радиусе \(r\)) от фиксированной точки — центра \((h, k)\). Этот калькулятор принимает координаты центра и радиус, а затем выдаёт уравнение окружности сразу в двух формах: каноническом (стандартном) виде и общем виде, а также рассчитывает диаметр, длину окружности и площадь.
Как пользоваться калькулятором
Введите абсциссу центра (h), ординату центра (k) и радиус (r). Нажмите «Рассчитать», чтобы увидеть уравнение в каноническом виде, развёрнутое уравнение в общем виде и основные геометрические величины. Радиус, равный 0, задаёт всего одну точку, поэтому для настоящей окружности используйте положительное значение.
Разбор формулы
Канонический вид напрямую следует из формулы расстояния: расстояние от любой точки (x, y) до центра (h, k) равно r, то есть \(\sqrt{(x-h)^2 + (y-k)^2} = r\). Возведя обе части в квадрат, получаем $$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$$ Если раскрыть скобки, придём к общему виду $$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$ где \(D = -2h\), \(E = -2k\), а \(F = h^2 + k^2 - r^2\).
Пример с решением
Пусть центр находится в точке (3, −2), а радиус равен 5. Тогда канонический вид: $$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$$ так как \(r^2 = 25\). Общий вид: \(D = -6\), \(E = 4\), \(F = 3^2 + (-2)^2 - 25 = 9 + 4 - 25 = -12\), поэтому $$x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$$ Диаметр равен 10, длина окружности — \(2\pi \cdot 5 \approx 31{,}42\), а площадь — \(\pi \cdot 25 \approx 78{,}54\).
Частые вопросы
А если центр находится в начале координат? При \((h, k) = (0, 0)\) уравнение упрощается до \(x^2 + y^2 = r^2\).
Как найти центр и радиус по общему виду уравнения? Нужно выделить полный квадрат: \(h = -D/2\), \(k = -E/2\), а \(r = \sqrt{h^2 + k^2 - F}\).
Может ли радиус быть отрицательным? Нет. Радиус — это расстояние, поэтому калькулятор берёт его абсолютное значение.
