वृत्त का समीकरण क्या होता है?
किसी समतल में वृत्त उन सभी बिंदुओं का समूह है जो एक निश्चित केंद्र बिंदु (h, k) से एक निश्चित दूरी — यानी त्रिज्या r — पर स्थित होते हैं। यह कैलकुलेटर केंद्र के निर्देशांक और त्रिज्या लेकर वृत्त के समीकरण का मानक रूप और सामान्य रूप दोनों निकालता है, साथ ही उसका व्यास, परिधि और क्षेत्रफल भी बताता है।
कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
केंद्र का x-निर्देशांक (h), केंद्र का y-निर्देशांक (k) और त्रिज्या (r) दर्ज करें। "गणना करें" दबाते ही आपको मानक रूप का समीकरण, विस्तारित सामान्य रूप और मुख्य माप दिख जाएंगे। ध्यान रहे, त्रिज्या 0 होने पर केवल एक बिंदु बनता है, इसलिए असली वृत्त के लिए हमेशा धनात्मक मान का उपयोग करें।
सूत्र की पूरी समझ
मानक रूप सीधे दूरी सूत्र से आता है: किसी भी बिंदु (x, y) की केंद्र (h, k) से दूरी r के बराबर होती है, यानी \(\sqrt{(x-h)^2 + (y-k)^2} = r\)। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर मिलता है
$$\left(x - h\right)^2 + \left(y - k\right)^2 = r^2$$इन वर्गों को विस्तारित करने पर सामान्य रूप बनता है
$$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$जहां \(D = -2h\), \(E = -2k\) और \(F = h^2 + k^2 - r^2\) होता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए केंद्र (3, −2) है और त्रिज्या 5 है। तब मानक रूप होगा \((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25\), क्योंकि \(r^2 = 25\)। अब सामान्य रूप: \(D = -6\), \(E = 4\), \(F = 3^2 + (-2)^2 - 25 = 9 + 4 - 25 = -12\), यानी \(x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0\)। इसका व्यास 10 है, परिधि \(2\pi \cdot 5 \approx 31.42\) है और क्षेत्रफल \(\pi \cdot 25 \approx 78.54\) है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
अगर केंद्र मूल बिंदु (origin) पर हो तो? जब \((h, k) = (0, 0)\) हो, तो समीकरण सरल होकर \(x^2 + y^2 = r^2\) बन जाता है।
सामान्य रूप से केंद्र और त्रिज्या कैसे निकालें? वर्ग पूरा करने की विधि अपनाएं: \(h = -D/2\), \(k = -E/2\) और \(r = \sqrt{h^2 + k^2 - F}\)।
क्या त्रिज्या ऋणात्मक हो सकती है? नहीं। त्रिज्या एक दूरी है, इसलिए कैलकुलेटर उसका निरपेक्ष मान (absolute value) ही उपयोग करता है।
