खोखला बेलन क्या होता है?
खोखला बेलन — जिसे बेलनाकार ट्यूब, पाइप या वलयाकार बेलन भी कहते हैं — दरअसल बाहरी त्रिज्या \(R\) वाला एक ऐसा बेलन है जिसके बीचों-बीच भीतरी त्रिज्या \(r\) का एक छेद आर-पार बना होता है, और इसकी ऊँचाई (लंबाई) \(h\) होती है। इसके दोनों सिरों के तल चपटे छल्ले (रिंग) जैसे होते हैं, जिन्हें वलय (annulus) या वॉशर कहा जाता है। यह कैलकुलेटर आपको इसका आयतन, पार्श्व (साइड) पृष्ठीय क्षेत्रफल और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालकर देता है।
इसका उपयोग कैसे करें
बाहरी त्रिज्या \(R\), भीतरी त्रिज्या \(r\) और ऊँचाई \(h\) दर्ज करें। तीनों मान एक ही लंबाई इकाई में होने चाहिए (या तो सभी mm, या सभी cm, या सभी इंच, वगैरह)। तब आयतन उसी इकाई के घन में और क्षेत्रफल उसी इकाई के वर्ग में मिलते हैं। यह टूल मानता है कि \(R > r \ge 0\) और \(h > 0\) हो; अगर \(r = 0\) हो तो आकृति बस एक ठोस बेलन बन जाती है और तब भी ये सूत्र लागू होते हैं।
सूत्रों की पूरी समझ
इसका अनुप्रस्थ काट (cross-section) एक छल्ला होता है जिसका क्षेत्रफल \(\pi(R^{2} - r^{2})\) है, इसलिए आयतन $$V = \pi \left( R^{2} - r^{2} \right) h$$ होता है। पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल में दोनों बेलनाकार दीवारें गिनी जाती हैं: बाहरी दीवार \(2\pi R h\) और भीतरी दीवार \(2\pi r h\), यानी $$A_{L} = 2\pi \, h \left( R + r \right)$$ कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल में दोनों सिरों के चपटे छल्ले भी जुड़ जाते हैं, जिनमें से हर एक का क्षेत्रफल \(\pi(R^{2} - r^{2})\) है: $$A = 2\pi \, h \left( R + r \right) + 2\pi \left( R^{2} - r^{2} \right)$$
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(R = 5\), \(r = 3\), \(h = 10\): तब \(R^{2} - r^{2} = 25 - 9 = 16\)। आयतन $$= \pi \times 16 \times 10 = 160\pi \approx 502.65$$ पार्श्व क्षेत्रफल $$= 2\pi \times 10 \times 8 = 160\pi \approx 502.65$$ दोनों सिरों के छल्ले $$= 2\pi \times 16 = 32\pi \approx 100.53$$ कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $$= 160\pi + 32\pi = 192\pi \approx 603.19$$
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
अगर भीतरी त्रिज्या शून्य हो तो? तब कोई छेद नहीं बचता और आकृति एक ठोस बेलन बन जाती है: \(V = \pi R^{2} h\), \(A_{L} = 2\pi R h\), \(A = 2\pi R h + 2\pi R^{2}\)। सामान्य सूत्र सिमटकर ठीक यही बन जाते हैं।
बाहरी त्रिज्या का भीतरी त्रिज्या से बड़ा होना ज़रूरी क्यों है? अगर \(R \le r\) हो तो दीवार की मोटाई शून्य या ऋणात्मक हो जाएगी, जो किसी असली ट्यूब के लिए संभव नहीं है, इसलिए ऐसा इनपुट स्वीकार नहीं किया जाता।
मुझे नतीजे किन इकाइयों में मिलेंगे? जो भी लंबाई इकाई आप दर्ज करेंगे, उसी में। अगर आप सेंटीमीटर डालते हैं तो आयतन \(\text{cm}^{3}\) में और क्षेत्रफल \(\text{cm}^{2}\) में मिलेंगे। बस ध्यान रहे कि तीनों इनपुट एक ही इकाई में हों।
