ما هي الأسطوانة المجوفة؟
الأسطوانة المجوفة — وتُعرف أيضًا بالأنبوب الأسطواني أو الماسورة أو الأسطوانة الحلقية — هي أسطوانة نصف قطرها الخارجي \(R\) اخترقها ثقب أسطواني متحد المركز نصف قطره الداخلي \(r\) مارًّا في وسطها من طرف إلى طرف، بارتفاع (طول) قدره \(h\). أمّا وجهاها الطرفيان فهما على شكل حلقتين مسطّحتين تُسمّى الواحدة منهما حلقة (أو وردة). تتيح لك هذه الحاسبة معرفة الحجم والمساحة الجانبية ومساحة السطح الكلية.
كيفية الاستخدام
أدخل نصف القطر الخارجي \(R\)، ونصف القطر الداخلي \(r\)، والارتفاع \(h\). يجب أن تُعبَّر القيم الثلاث جميعها بالوحدة الطولية نفسها (الكل بالمليمتر، أو الكل بالسنتيمتر، أو الكل بالبوصة، وهكذا). عندها يظهر الحجم بمكعّب تلك الوحدة، وتظهر المساحات بمربّعها. تشترط الأداة أن يكون \(R > r \ge 0\) وأن يكون \(h > 0\)؛ فإن كان \(r = 0\) صارت الأسطوانة مصمتة بكل بساطة، وتبقى الصيغ صالحة كما هي.
شرح الصيغ
المقطع العرضي عبارة عن حلقة مساحتها \(\pi(R^{2} - r^{2})\)، ومن ثَمّ فإن الحجم هو $$V = \pi \left( R^{2} - r^{2} \right) h$$ أمّا المساحة الجانبية فتشمل الجدارين الأسطوانيين معًا: الجدار الخارجي \(2\pi R h\) مضافًا إليه الجدار الداخلي \(2\pi r h\)، فينتج $$S_{\text{lat}} = 2\pi h (R + r)$$ ومساحة السطح الكلية تضيف إلى ذلك الوجهين الطرفيين الحلقيين المسطّحين، ومساحة كلٍّ منهما \(\pi(R^{2} - r^{2})\): $$S_{\text{tot}} = 2\pi h (R + r) + 2\pi (R^{2} - r^{2})$$
مثال محلول
لِنأخذ \(R = 5\)، \(r = 3\)، \(h = 10\): عندئذٍ \(R^{2} - r^{2} = 25 - 9 = 16\). الحجم \(= \pi \times 16 \times 10 = 160\pi \approx 502.65\). المساحة الجانبية \(= 2\pi \times 10 \times 8 = 160\pi \approx 502.65\). والحلقتان الطرفيتان \(= 2\pi \times 16 = 32\pi \approx 100.53\). ومن ثَمّ تكون مساحة السطح الكلية \(= 160\pi + 32\pi = 192\pi \approx 603.19\).
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان نصف القطر الداخلي يساوي صفرًا؟ عندها يختفي الثقب وتتحوّل الأسطوانة إلى أسطوانة مصمتة: \(V = \pi R^{2} h\)، و \(S_{\text{lat}} = 2\pi R h\)، و \(S_{\text{tot}} = 2\pi R h + 2\pi R^{2}\). وتؤول الصيغ العامة إلى هذه الصيغ بالضبط.
لماذا يجب أن يكون نصف القطر الخارجي أكبر من الداخلي؟ لأنه إذا كان \(R \le r\) صار الجدار بلا سُمك أو ذا سُمك سالب، وهو ما لا يُمثّل أنبوبًا حقيقيًا، ولذلك تُرفض هذه القيم.
ما الوحدات التي سأحصل عليها؟ أيّ وحدة طولية تُدخلها. فإن أدخلت القيم بالسنتيمتر، يظهر الحجم بـ سم³ وتظهر المساحات بـ سم². احرص على إدخال القيم الثلاث بوحدة واحدة.
