ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة مساحة أي مثلث عندما تعرف إحداثيات رؤوسه الثلاثة على المستوى ثنائي الأبعاد. فبدلًا من قياس القاعدة والارتفاع، تعتمد على معادلة رباط الحذاء (Shoelace formula)، المعروفة أيضًا بطريقة الإحداثيات أو طريقة المُحدِّد (Determinant)، وهي تصلح لأي مثلث مهما كان اتجاهه أو موضعه.
طريقة الاستخدام
أدخل قيمتي س وص لكل رأس من الرؤوس الثلاثة: (س₁، ص₁) و(س₂، ص₂) و(س₃، ص₃). ترتيب الرؤوس لا يؤثر على المساحة، لأن القيمة المطلقة تضمن لك نتيجة موجبة دائمًا. اضغط على زر الحساب لتظهر المساحة بالوحدات المربعة، إضافةً إلى المساحة الموجَّهة (ذات الإشارة) التي تخبرك بترتيب النقاط: سالبة إذا أُدخلت باتجاه عقارب الساعة، وموجبة إذا أُدخلت عكس عقارب الساعة.
شرح المعادلة
المساحة تساوي نصف القيمة المطلقة لتعبير على هيئة الضرب الاتجاهي (cross product):
$$\text{Area} = \frac{1}{2}\left|\, \text{x}_1\left(\text{y}_2 - \text{y}_3\right) + \text{x}_2\left(\text{y}_3 - \text{y}_1\right) + \text{x}_3\left(\text{y}_1 - \text{y}_2\right) \,\right|$$
يقترن في كل حد إحداثيٌّ سيني واحد مع الفرق بين الإحداثيين الصاديين الآخرين. ومجموع هذه الحدود يساوي ضعف المساحة الموجَّهة للمثلث؛ ومن ثَمَّ فإن قسمته على اثنين وأخذ قيمته المطلقة يعطينا المساحة الحقيقية. أما إذا كانت النتيجة صفرًا، فهذا يعني أن النقاط الثلاث تقع على استقامة واحدة ولا تكوّن مثلثًا.
مثال محلول
لنأخذ الرؤوس (0، 0) و(4، 0) و(0، 3). بالتعويض في المعادلة: $$0(0 - 3) + 4(3 - 0) + 0(0 - 0) = 0 + 12 + 0 = 12.$$ ونصف \(|12|\) = 6 وحدات مربعة. وهذا يتطابق تمامًا مع التحقق البسيط عبر قانون القاعدة × الارتفاع ÷ 2: \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6\).
الأسئلة الشائعة
هل يؤثر ترتيب النقاط في النتيجة؟ لا. بما أننا نأخذ القيمة المطلقة، فإن أي ترتيب للرؤوس يعطي المساحة نفسها. الذي يتغير فقط هو إشارة المساحة الموجَّهة.
ماذا لو حصلت على مساحة تساوي صفرًا؟ هذا يعني أن النقاط الثلاث تقع على خط مستقيم واحد (متصافّة)، وبالتالي لا يوجد مثلث.
هل يمكنني استخدام إحداثيات سالبة؟ نعم. تعمل المعادلة مع أي قيم حقيقية للإحداثيات، بما في ذلك الأرقام السالبة والكسور العشرية.
