座標求三角形面積計算機

輸入計算

數學公式

結果

三角形面積

平方單位

有號面積（½ · 行列式）	6

這個計算機能做什麼

當你已知三角形三個頂點在平面座標上的位置時，這個工具就能幫你算出它的面積。不必量底邊與高，它採用的是鞋帶公式（Shoelace Formula），又稱座標法或行列式法。無論三角形如何擺放、朝哪個方向，這套方法都能正確求出面積。

使用方法

分別輸入三個頂點的 x 與 y 數值：(x₁, y₁)、(x₂, y₂) 與 (x₃, y₃)。輸入的先後順序並不影響面積──因為取了絕對值，結果一定是正數。按下計算後，你會看到以「平方單位」表示的面積，以及「有號面積」。有號面積的正負能告訴你頂點的排列方向：順時針為負，逆時針為正。

公式解析

面積等於下列類似外積運算式取絕對值後的一半：

$$\text{Area} = \frac{1}{2}\left|\, \text{x}_1\left(\text{y}_2 - \text{y}_3\right) + \text{x}_2\left(\text{y}_3 - \text{y}_1\right) + \text{x}_3\left(\text{y}_1 - \text{y}_2\right) \,\right|$$

式中每一項都是把一個 x 座標，乘上另外兩個 y 座標的差。這些項加總後，剛好等於三角形有號面積的兩倍；除以二並取絕對值，就得到真正的面積。如果算出來是零，代表這三點共線，根本構不成三角形。

座標網格上帶有三個標註頂點的三角形 — 由座標平面上三個頂點定義的三角形，每個點都標有 x 和 y 座標。

實例演算

以頂點 (0, 0)、(4, 0) 與 (0, 3) 為例，代入公式：$$0(0 - 3) + 4(3 - 0) + 0(0 - 0) = 0 + 12 + 0 = 12$$取 $|12|$ 的一半 = 6 平方單位。這和最直觀的「底 × 高 ÷ 2」驗算結果一致：$\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$。