이 계산기는 무엇을 하나요?
이 도구는 2차원 평면 위 삼각형의 세 꼭짓점 좌표만 알면 삼각형의 넓이를 구해 줍니다. 밑변과 높이를 직접 재지 않고 신발끈 공식(shoelace formula)을 사용하는데, 좌표법 또는 행렬식(determinant) 방법이라고도 부릅니다. 삼각형이 어떤 방향으로 놓여 있든 상관없이 정확하게 계산됩니다.
사용 방법
세 꼭짓점 \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\), \((x_3, y_3)\) 각각의 x값과 y값을 입력하세요. 넓이를 구할 때 점의 입력 순서는 상관없습니다. 절댓값을 취하므로 결과는 항상 양수로 나옵니다. 계산 버튼을 누르면 제곱 단위로 표시된 넓이와 함께 부호 있는 넓이(signed area)가 나타납니다. 부호 있는 넓이가 음수면 점들이 시계 방향으로, 양수면 반시계 방향으로 나열되었다는 뜻입니다.
공식 풀이
넓이는 외적(cross product) 형태로 된 다음 식의 절댓값을 반으로 나눈 값입니다.
$$\text{Area} = \frac{1}{2}\left|\, \text{x}_1\left(\text{y}_2 - \text{y}_3\right) + \text{x}_2\left(\text{y}_3 - \text{y}_1\right) + \text{x}_3\left(\text{y}_1 - \text{y}_2\right) \,\right|$$
각 항은 하나의 x좌표에 나머지 두 y좌표의 차를 곱한 것입니다. 이 합은 삼각형의 부호 있는 넓이의 2배와 같으므로, 이를 반으로 나눈 뒤 절댓값을 취하면 실제 넓이가 됩니다. 만약 결과가 0이라면 세 점이 한 직선 위에 있다는(일직선상에 있는, collinear) 뜻이며 삼각형을 이루지 못합니다.
예제로 확인하기
꼭짓점이 \((0, 0)\), \((4, 0)\), \((0, 3)\)인 경우를 보겠습니다. 식에 대입하면 $$0(0 - 3) + 4(3 - 0) + 0(0 - 0) = 0 + 12 + 0 = 12$$입니다. \(|12|\)의 절반은 6 제곱 단위입니다. 이는 밑변 × 높이 ÷ 2로 간단히 검산한 결과(\(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6\))와 정확히 일치합니다.
자주 묻는 질문
점의 순서가 중요한가요? 아니요. 절댓값을 취하기 때문에 꼭짓점을 어떤 순서로 입력해도 넓이는 동일합니다. 부호 있는 넓이의 부호만 바뀔 뿐입니다.
넓이가 0으로 나오면 어떻게 하나요? 세 점이 한 직선 위에 있다는(일직선상에 있는) 뜻이므로 삼각형이 만들어지지 않습니다.
음수 좌표를 사용할 수 있나요? 네. 이 공식은 음수와 소수를 포함한 모든 실수 좌표에 대해 잘 작동합니다.
