원의 중심 계산기란?
이 도구는 일반형 방정식 \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\)으로 주어진 원의 중심과 반지름을 구해 줍니다. 일일이 완전제곱식으로 정리할 필요 없이, 세 개의 계수 D, E, F만 입력하면 중심 좌표 \((h, k)\)와 반지름이 즉시 나옵니다. 어떤 유효한 원의 방정식에도 적용되는 범용 수학 도구입니다.
사용 방법
먼저 방정식을 \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\) 형태로 정리해, \(x^2\)과 \(y^2\)의 계수가 모두 1이 되도록 만드세요. 그런 다음 다음 값을 확인합니다.
- D — x에 곱해진 수
- E — y에 곱해진 수
- F — 상수항
각 값을 부호까지 포함해 입력하면 계산기가 중심과 반지름을 알려 줍니다.
공식 풀이
완전제곱식으로 정리하면 일반형 방정식은 \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\) 꼴로 바꿀 수 있습니다. 이를 통해 중심이 다음 위치에 있음을 알 수 있습니다.
$$\left(h,\, k\right) = \left(-\frac{\text{D}}{2},\; -\frac{\text{E}}{2}\right)$$반지름은 \(r = \sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^2 + \left(\frac{E}{2}\right)^2 - F}\)로 구합니다. 만약 근호 안의 값이 음수라면, 그 방정식은 실수 범위의 원을 나타내지 않습니다.
예제 풀이
\(x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0\)을 예로 들면, \(D = -6\), \(E = 8\), \(F = 9\)입니다.
중심 \(x = -\frac{-6}{2} = 3\), 중심 \(y = -\frac{8}{2} = -4\). 따라서 중심은 \((3, -4)\)입니다.
$$\text{반지름} = \sqrt{(-3)^2 + (4)^2 - 9} = \sqrt{9 + 16 - 9} = \sqrt{16} = 4$$
자주 묻는 질문
방정식에 \(2x^2 + 2y^2\)처럼 계수가 붙어 있으면 어떻게 하나요? 먼저 방정식 전체를 그 계수로 나누어 \(x^2\)과 \(y^2\)의 계수가 각각 1이 되도록 한 다음, D, E, F 값을 읽으면 됩니다.
반지름이 0으로 나오는 이유는 무엇인가요? \(\left(\frac{D}{2}\right)^2 + \left(\frac{E}{2}\right)^2 - F\)가 0이거나 음수이면, 그 방정식은 하나의 점을 나타내거나 실수 범위의 원이 아닙니다. 이 경우 계산기는 0으로 표시합니다.
\((h, k)\)는 무슨 뜻인가요? 원의 중심을 나타내는 표준 표기로, h는 x좌표, k는 y좌표를 의미합니다.
