円の中心を求める計算機とは？
このツールは、一般形 \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\) で与えられた円の方程式から、中心と半径を求めます。手作業で平方完成をする必要はなく、3つの係数 D・E・F を入力するだけで、中心の座標 \((h, k)\) と半径がすぐに表示されます。どの国の数学でも共通して使える、汎用的なツールです。
使い方
まず、\(x^2\) と \(y^2\) の係数がどちらも 1 になるように、方程式を \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\) の形に整理します。そのうえで、次の値を読み取ってください。
- D — x にかかっている数
- E — y にかかっている数
- F — 定数項
それぞれの値を（符号も含めて）入力すると、中心と半径が計算されます。
公式の解説
平方完成を行うと、一般形は \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\) の形に書き直せます。これにより、中心が次の位置にあることがわかります。
$$\left(h,\, k\right) = \left(-\frac{D}{2},\; -\frac{E}{2}\right)$$半径は \(r = \sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^2 + \left(\frac{E}{2}\right)^2 - F}\) で求まります。ルートの中が負になる場合は、その方程式は実際の円を表していません。
計算例
\(x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0\) を考えると、\(D = -6\)、\(E = 8\)、\(F = 9\) です。
中心の x 座標 \(= -\frac{-6}{2} = 3\)。中心の y 座標 \(= -\frac{8}{2} = -4\)。したがって中心は \((3, -4)\) です。
$$r = \sqrt{(-3)^2 + (4)^2 - 9} = \sqrt{9 + 16 - 9} = \sqrt{16} = 4$$
よくある質問
\(2x^2 + 2y^2\) のように係数がある場合はどうすればいい？ まず方程式全体をその係数で割り、\(x^2\) と \(y^2\) の係数をそれぞれ 1 にしてから、D・E・F を読み取ってください。
半径が 0 になるのはなぜ？ \(\left(\frac{D}{2}\right)^2 + \left(\frac{E}{2}\right)^2 - F\) が 0 または負の場合、その方程式は1つの点を表すか、実際の円を表しません。その場合、この計算機は 0 と表示します。
\((h, k)\) は何を意味する？ 円の中心を表す標準的な記号で、h が x 座標、k が y 座標です。
