Калькулятор центра окружности

Введите расчет

D (коэффициент при x)

E (коэффициент при y)

F (свободный член)

Общий вид: x² + y² + Dx + Ey + F = 0

Результатов

Центр окружности

(3, -4)

координаты центра (h, k)

Центр по x (h)	3
Центр по y (k)	-4
Радиус	4

Что такое калькулятор центра окружности?

Этот инструмент находит центр и радиус окружности, заданной уравнением в общем виде: \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\). Вместо того чтобы вручную выделять полный квадрат, достаточно ввести три коэффициента — D, E и F, — и вы сразу получите координаты центра \((h, k)\) и радиус. Это универсальный математический калькулятор, который работает с любым корректным уравнением окружности.

Как пользоваться

Приведите своё уравнение к виду \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\), чтобы коэффициенты при \(x^2\) и \(y^2\) были равны 1. После этого определите:

• D — число перед x;
• E — число перед y;
• F — свободный член.

Введите каждое значение (обязательно со знаком), и калькулятор выдаст центр и радиус окружности.

Разбор формулы

Если выделить полный квадрат, общее уравнение можно переписать в виде \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\). Отсюда видно, что центр находится в точке:

$$\left(h,\, k\right) = \left(-\frac{\text{D}}{2},\; -\frac{\text{E}}{2}\right)$$

Радиус вычисляется по формуле \(r = \sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^2 + \left(\frac{E}{2}\right)^2 - F}\). Если выражение под корнем отрицательное, уравнение не задаёт настоящую окружность.

Центр (h, k) находится в середине окружности, а радиус r ведёт к любой точке на краю.

Пример с решением

Возьмём \(x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0\), то есть \(D = -6\), \(E = 8\), \(F = 9\).

Координата центра по x: \(-\frac{(-6)}{2} = 3\). Координата по y: \(-\frac{(8)}{2} = -4\). Значит, центр находится в точке \((3, -4)\).

$$r = \sqrt{(-3)^2 + (4)^2 - 9} = \sqrt{9 + 16 - 9} = \sqrt{16} = 4$$

Выделение полного квадрата переводит общее уравнение в стандартный вид, открывая центр и радиус.

Частые вопросы

Что делать, если в уравнении есть коэффициент вроде \(2x^2 + 2y^2\)? Сначала разделите всё уравнение на этот коэффициент, чтобы при \(x^2\) и \(y^2\) стояла единица, а затем выпишите D, E и F.

Почему радиус получился равным нулю? Если значение \(\left(\frac{D}{2}\right)^2 + \left(\frac{E}{2}\right)^2 - F\) равно нулю или отрицательно, уравнение задаёт одну точку или не описывает настоящую окружность; в этом случае калькулятор показывает 0.

Что означает запись \((h, k)\)? Это стандартное обозначение центра окружности, где h — координата по оси x, а k — координата по оси y.