Что такое центр описанной окружности?
Центр описанной окружности — это единственная точка, равноудалённая от всех трёх вершин треугольника. Именно она служит центром описанной окружности, то есть окружности, проходящей через каждую вершину. С геометрической точки зрения этот центр лежит на пересечении трёх серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Наш калькулятор находит его напрямую по координатам вершин и заодно вычисляет радиус описанной окружности.
Как пользоваться калькулятором
Введите координаты (x, y) трёх вершин треугольника: \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\) и \((x_3, y_3)\). Калькулятор выдаст координаты центра описанной окружности \((U_x, U_y)\) и её радиус — расстояние от центра до любой из вершин. Если все три точки лежат на одной прямой, конечного центра описанной окружности не существует, и калькулятор сообщит, что точки коллинеарны.
Разбор формулы
Сначала вычисляем \(D = 2[x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)]\). Эта величина равна удвоенному определителю ориентированной площади; если \(D = 0\), точки лежат на одной прямой. Введём квадраты расстояний вершин от начала координат: \(s_i = x_i^2 + y_i^2\). Тогда координаты центра вычисляются так:
$$U_x = \frac{s_1(y_2-y_3) + s_2(y_3-y_1) + s_3(y_1-y_2)}{D}, \qquad U_y = \frac{s_1(x_3-x_2) + s_2(x_1-x_3) + s_3(x_2-x_1)}{D}$$Радиус описанной окружности \(R\) — это евклидово расстояние от точки \((U_x, U_y)\) до любой вершины.
Пример с решением
Возьмём прямоугольный треугольник с вершинами (0, 0), (4, 0) и (0, 3). Тогда $$D = 2[0\cdot(0-3) + 4\cdot(3-0) + 0\cdot(0-0)] = 2\cdot12 = 24.$$ При \(s_1 = 0\), \(s_2 = 16\), \(s_3 = 9\) получаем: $$U_x = \frac{0 + 16\cdot3 + 9\cdot0}{24} = \frac{48}{24} = 2 \quad \text{и} \quad U_y = \frac{0 + 16\cdot0 + 9\cdot(-4)}{24} = \frac{-36}{24} = 1{,}5.$$ Радиус равен \(\sqrt{2^2 + 1{,}5^2} = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5\) — ровно половина гипотенузы, как и должно быть у прямоугольного треугольника.
Частые вопросы
Может ли центр описанной окружности находиться вне треугольника? Да. У тупоугольных треугольников он лежит снаружи; у прямоугольных — в середине гипотенузы; у остроугольных — внутри треугольника.
Что делать, если точки коллинеарны? Три точки, лежащие на одной прямой, не могут принадлежать одной конечной окружности, поэтому центр описанной окружности не определён, и калькулятор отметит этот случай.
Важен ли порядок ввода вершин? Нет. Результат не зависит от того, в каком порядке вы вводите три точки.
