¿Qué es el circuncentro?
El circuncentro de un triángulo es el único punto que se encuentra a la misma distancia de los tres vértices. Es el centro de la circunferencia circunscrita (o circuncírculo), aquella que pasa por todos los vértices del triángulo. Desde el punto de vista geométrico, el circuncentro coincide con la intersección de las tres mediatrices de los lados. Esta calculadora lo determina directamente a partir de las coordenadas de los tres vértices y, además, te devuelve el circunradio.
Cómo usar esta calculadora
Introduce las coordenadas (x, y) de los tres vértices del triángulo: \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\) y \((x_3, y_3)\). La herramienta te mostrará las coordenadas del circuncentro \((U_x, U_y)\) y el circunradio, es decir, la distancia desde el circuncentro hasta cualquiera de los vértices. Si los tres puntos están alineados sobre una misma recta, no existe un circuncentro finito y la calculadora te avisará de que los puntos son colineales.
La fórmula explicada
Partimos de $$D = 2\left[x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)\right].$$ Esta cantidad equivale al doble del determinante del área con signo; si \(D = 0\), los puntos son colineales. Tomando la distancia al cuadrado de cada vértice respecto al origen, \(s_i = x_i^2 + y_i^2\), el circuncentro se calcula como $$U_x = \frac{s_1(y_2-y_3) + s_2(y_3-y_1) + s_3(y_1-y_2)}{D}, \qquad U_y = \frac{s_1(x_3-x_2) + s_2(x_1-x_3) + s_3(x_2-x_1)}{D}.$$ El circunradio \(R\) es, finalmente, la distancia euclídea desde \((U_x, U_y)\) hasta cualquiera de los vértices.
Ejemplo resuelto
Tomemos un triángulo rectángulo con vértices (0, 0), (4, 0) y (0, 3). Entonces $$D = 2[0\cdot(0-3) + 4\cdot(3-0) + 0\cdot(0-0)] = 2\cdot 12 = 24.$$ Con \(s_1 = 0\), \(s_2 = 16\) y \(s_3 = 9\): $$U_x = \frac{0 + 16\cdot 3 + 9\cdot 0}{24} = \frac{48}{24} = 2,$$ y $$U_y = \frac{0 + 16\cdot 0 + 9\cdot(-4)}{24} = \frac{-36}{24} = 1{,}5.$$ El circunradio es \(\sqrt{2^2 + 1{,}5^2} = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5\), que es exactamente la mitad de la hipotenusa, justo como cabía esperar en un triángulo rectángulo.
Preguntas frecuentes
¿Puede el circuncentro quedar fuera del triángulo? Sí. En los triángulos obtusángulos el circuncentro se sitúa fuera; en los rectángulos cae sobre el punto medio de la hipotenusa; y en los acutángulos queda dentro del triángulo.
¿Qué ocurre si mis puntos están alineados? Tres puntos colineales no pueden pertenecer a una misma circunferencia finita, por lo que el circuncentro no está definido y la calculadora te lo indica.
¿Importa el orden de los vértices? No. El resultado es el mismo independientemente del orden en que introduzcas los tres puntos.
