什麼是外心？
三角形的外心是唯一一個到三個頂點距離都相等的點，也就是外接圓（通過三個頂點的圓）的圓心。從幾何角度來看，外心正好落在三角形三條邊的垂直平分線交會處。本計算器可直接由三個頂點的座標求出外心，並一併算出外接圓半徑。
如何使用本計算器
請輸入三角形三個頂點的 (x, y) 座標：(x₁, y₁)、(x₂, y₂) 與 (x₃, y₃)。工具會回傳外心座標 (Ux, Uy)，以及外接圓半徑（即外心到任一頂點的距離）。若三點剛好落在同一條直線上，便不存在有限的外心，計算器會提示這三點共線。
公式詳解
首先計算 $$D = 2\left[\text{x}_1(\text{y}_2-\text{y}_3) + \text{x}_2(\text{y}_3-\text{y}_1) + \text{x}_3(\text{y}_1-\text{y}_2)\right].$$這個值等於有號面積行列式的兩倍；若 \(D = 0\)，代表三點共線。接著利用各頂點到原點距離的平方 \(s_i = \text{x}_i^2 + \text{y}_i^2\)，外心座標為 $$U_x = \frac{s_1(y_2-y_3) + s_2(y_3-y_1) + s_3(y_1-y_2)}{D}, \qquad U_y = \frac{s_1(x_3-x_2) + s_2(x_1-x_3) + s_3(x_2-x_1)}{D}.$$外接圓半徑 \(R\) 則是 \((U_x, U_y)\) 到任一頂點的歐幾里得距離。
實際範例
以頂點為 (0, 0)、(4, 0) 與 (0, 3) 的直角三角形為例。先算 $$D = 2[0\cdot(0-3) + 4\cdot(3-0) + 0\cdot(0-0)] = 2\cdot 12 = 24.$$其中 \(s_1 = 0\)、\(s_2 = 16\)、\(s_3 = 9\)：$$U_x = \frac{0 + 16\cdot 3 + 9\cdot 0}{24} = \frac{48}{24} = 2, \qquad U_y = \frac{0 + 16\cdot 0 + 9\cdot(-4)}{24} = \frac{-36}{24} = 1.5.$$外接圓半徑為 \(\sqrt{2^2 + 1.5^2} = \sqrt{6.25} = 2.5\)，正好是斜邊的一半——這正是直角三角形應有的結果。
常見問題
外心會落在三角形外面嗎？會的。鈍角三角形的外心位於三角形外側；直角三角形的外心落在斜邊的中點；銳角三角形的外心則在三角形內部。
如果我的三點共線怎麼辦？三個共線的點無法落在同一個有限的圓上，因此外心沒有定義，計算器會特別標示這種情況。
輸入頂點的順序會影響結果嗎？不會。無論你以什麼順序輸入這三點，計算結果都相同。
