什麼是三角式？
任何複數 \(z = a + bi\) 都可以改寫成三角式（又稱極式）\(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)。其中 \(r\) 是模長，代表該點到原點的距離；\(\theta\) 則是輻角，也就是從正實軸量起的角度。這個計算器能把任何以直角座標表示的複數 \(a + bi\) 轉換成三角式，並同時以角度與弧度兩種方式列出 \(\theta\)。
使用方式
輸入複數的實部 \(a\) 與虛部 \(b\)，即可讀出模長 \(r\) 與輻角 \(\theta\)。計算器採用 atan2 函式，會自動把角度放到正確的象限，完全不必再手動調整正負號。
公式說明
模長由畢氏定理而來：\(r = \sqrt{a^2 + b^2}\)。輻角為 \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\)，回傳向量 \((a, b)\) 的角度。將 \(r\cdot\cos\theta\) 展開可還原出 \(a\)，\(r\cdot\sin\theta\) 則還原出 \(b\)，由此驗證三角式與原本的複數完全等價。
$$z = r\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)$$$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} r &= \sqrt{\text{Real }(a)^{2} + \text{Imag }(b)^{2}} \\ \theta &= \operatorname{atan2}\!\left(\text{Imag }(b),\ \text{Real }(a)\right) \end{aligned} \right.$$
範例演算
以 \(z = 3 + 4i\) 為例。模長為 $$r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5.$$輻角為 $$\theta = \operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0.9273 \text{ 弧度} \approx 53.13^\circ.$$因此 \(z = 5(\cos 53.13^\circ + i\sin 53.13^\circ)\)。
常見問題
用角度還是弧度才對？兩者描述的是同一個角度，依題目需求選用即可。在微積分與尤拉公式中，習慣使用弧度。
如果 a 和 b 都是 0 呢？此時 \(z = 0\)，模長為 0，輻角則無定義（一般約定取 0）。
這和指數式有什麼關係？根據尤拉公式，\(r(\cos\theta + i\sin\theta) = r\cdot e^{i\theta}\)，所以同樣的 \(r\) 與 \(\theta\) 也能直接寫成指數式。
