ما هي الصيغة المثلثية؟
يمكن كتابة أي عدد مركب \(z = a + bi\) على الصيغة المثلثية (القطبية) \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\). هنا يمثّل \(r\) المقياس (أي بُعد العدد عن نقطة الأصل)، بينما تمثّل \(\theta\) السعة أو الزاوية (الزاوية المقيسة انطلاقًا من المحور الحقيقي الموجب). تقوم هذه الحاسبة بتحويل أي عدد مركب بصيغته الديكارتية \(a + bi\) إلى صيغته المثلثية، وتعرض قيمة \(\theta\) بالدرجات والراديان معًا.
طريقة الاستخدام
أدخل الجزء الحقيقي \(a\) والجزء التخيّلي \(b\) للعدد المركب، ثم اقرأ مباشرةً قيمة المقياس \(r\) والزاوية \(\theta\). تعتمد الحاسبة على الدالة \(\operatorname{atan2}\)، ولذلك تُوضَع الزاوية في الربع الصحيح تلقائيًا دون أي حاجة لتعديل الإشارات يدويًا.
شرح القانون
يُحسب المقياس باستخدام نظرية فيثاغورس: \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\). أما الزاوية فتُعطى بالعلاقة \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\)، التي تُرجع زاوية المتجه \((a, b)\). وعند فك الضرب نجد أن \(r\cdot\cos\theta\) يعيد قيمة \(a\)، وأن \(r\cdot\sin\theta\) يعيد قيمة \(b\)، وهذا يؤكد أن الصيغة المثلثية تكافئ العدد الأصلي تمامًا.
مثال محلول
لنأخذ \(z = 3 + 4i\). يكون المقياس $$r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5.$$ وتكون الزاوية $$\theta = \operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0.9273 \text{ راديان} \approx 53.13°.$$ وبذلك نكتب \(z = 5(\cos 53.13° + i\sin 53.13°)\).
الأسئلة الشائعة
هل الصحيح استخدام الدرجات أم الراديان؟ كلاهما يصف الزاوية نفسها؛ استخدم ما تتطلّبه مسألتك. ويُعدّ الراديان هو الوحدة القياسية في التفاضل والتكامل وفي صيغة أويلر.
ماذا لو كان كل من \(a\) و \(b\) يساوي صفرًا؟ في هذه الحالة يكون \(z = 0\)، فيكون المقياس \(0\)، وتكون الزاوية غير معرّفة (ويُتّفق اصطلاحًا على اعتبارها \(0\)).
ما علاقة هذه الصيغة بالصيغة الأُسّية؟ وفقًا لصيغة أويلر، فإن \(r(\cos\theta + i\sin\theta) = r\cdot e^{i\theta}\)، ولذلك تعطينا قيمتا \(r\) و\(\theta\) نفساهما الصيغة الأُسّية مباشرةً.
