त्रिकोणमितीय रूप क्या है?
हर सम्मिश्र संख्या \(z = a + bi\) को त्रिकोणमितीय (ध्रुवीय) रूप \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\) में लिखा जा सकता है। यहाँ \(r\) है मॉड्यलस (मूल बिंदु से इसकी दूरी) और \(\theta\) है आर्ग्युमेंट यानी कोण (जो धनात्मक वास्तविक अक्ष से नापा जाता है)। यह कैलकुलेटर किसी भी आयताकार (rectangular) सम्मिश्र संख्या \(a + bi\) को उसके त्रिकोणमितीय रूप में बदल देता है और कोण \(\theta\) को डिग्री व रेडियन दोनों में दिखाता है।
इसका उपयोग कैसे करें
अपनी सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग \(a\) और काल्पनिक भाग \(b\) दर्ज करें, और फिर मॉड्यलस \(r\) तथा कोण \(\theta\) देख लें। यह कैलकुलेटर atan2 फ़ंक्शन का उपयोग करता है, इसलिए कोण अपने-आप सही चतुर्थांश (quadrant) में बैठ जाता है — आपको चिह्न (sign) खुद से ठीक करने की कोई ज़रूरत नहीं।
सूत्र को समझें
मॉड्यलस पाइथागोरस प्रमेय से निकलता है: $$r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$$ आर्ग्युमेंट होता है $$\theta = \operatorname{atan2}(b,\ a),$$ जो सदिश \((a, b)\) का कोण लौटाता है। \(r\cdot\cos\theta\) को गुणा करने पर वापस \(a\) मिलता है और \(r\cdot\sin\theta\) से वापस \(b\) मिलता है — इससे पुष्टि होती है कि यह रूप मूल संख्या के बराबर ही है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(z = 3 + 4i\)। तो मॉड्यलस होगा $$r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5.$$ आर्ग्युमेंट होगा $$\theta = \operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0.9273 \text{ रेडियन} \approx 53.13°.$$ इस प्रकार \(z = 5(\cos 53.13° + i\sin 53.13°)\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
डिग्री सही है या रेडियन? दोनों ही एक ही कोण को दर्शाते हैं; जो आपके सवाल में चाहिए उसका इस्तेमाल करें। कैलकुलस और ऑयलर के सूत्र (Euler's formula) में रेडियन ही मानक होता है।
अगर a और b दोनों शून्य हों तो? तब \(z = 0\) होगा, मॉड्यलस \(0\) होगा, और आर्ग्युमेंट अपरिभाषित (undefined) रहेगा (परंपरा के अनुसार इसे \(0\) मान लिया जाता है)।
इसका घातांकी रूप (exponential form) से क्या संबंध है? ऑयलर के सूत्र के अनुसार, \(r(\cos\theta + i\sin\theta) = r\cdot e^{i\theta}\), यानी वही \(r\) और \(\theta\) सीधे घातांकी रूप भी दे देते हैं।
