गणना दर्ज करें

परिणाम

त्रिकोणमितीय रूप

5(cos 53.13° + i·sin 53.13°)

z = a + bi → r(cos θ + i sin θ)

मॉड्यलस r	5
आर्ग्युमेंट θ (डिग्री)	53.130102°
आर्ग्युमेंट θ (रेडियन)	0.927295

त्रिकोणमितीय रूप क्या है?

हर सम्मिश्र संख्या $z = a + bi$ को त्रिकोणमितीय (ध्रुवीय) रूप $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ में लिखा जा सकता है। यहाँ $r$ है मॉड्यलस (मूल बिंदु से इसकी दूरी) और $\theta$ है आर्ग्युमेंट यानी कोण (जो धनात्मक वास्तविक अक्ष से नापा जाता है)। यह कैलकुलेटर किसी भी आयताकार (rectangular) सम्मिश्र संख्या $a + bi$ को उसके त्रिकोणमितीय रूप में बदल देता है और कोण $\theta$ को डिग्री व रेडियन दोनों में दिखाता है।

सम्मिश्र संख्या को सम्मिश्र तल पर एक बिंदु और सदिश के रूप में दिखाया गया, जो मापांक r और कोणांक थीटा को दर्शाता है — सम्मिश्र संख्या a + bi को सम्मिश्र तल पर मापांक r और कोणांक θ के साथ दर्शाया गया।

इसका उपयोग कैसे करें

अपनी सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग $a$ और काल्पनिक भाग $b$ दर्ज करें, और फिर मॉड्यलस $r$ तथा कोण $\theta$ देख लें। यह कैलकुलेटर atan2 फ़ंक्शन का उपयोग करता है, इसलिए कोण अपने-आप सही चतुर्थांश (quadrant) में बैठ जाता है — आपको चिह्न (sign) खुद से ठीक करने की कोई ज़रूरत नहीं।

सूत्र को समझें

मॉड्यलस पाइथागोरस प्रमेय से निकलता है: $$r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$$ आर्ग्युमेंट होता है $$\theta = \operatorname{atan2}(b,\ a),$$ जो सदिश $(a, b)$ का कोण लौटाता है। $r\cdot\cos\theta$ को गुणा करने पर वापस $a$ मिलता है और $r\cdot\sin\theta$ से वापस $b$ मिलता है — इससे पुष्टि होती है कि यह रूप मूल संख्या के बराबर ही है।

वास्तविक भाग a, काल्पनिक भाग b और कर्ण r से बना समकोण त्रिभुज, जो मापांक और कोणांक के सूत्रों को दर्शाता है — वह समकोण त्रिभुज जो a, b, मापांक r और कोण θ को जोड़ता है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए $z = 3 + 4i$। तो मॉड्यलस होगा $$r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5.$$ आर्ग्युमेंट होगा $$\theta = \operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0.9273 \text{ रेडियन} \approx 53.13°.$$ इस प्रकार $z = 5(\cos 53.13° + i\sin 53.13°)$।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

डिग्री सही है या रेडियन? दोनों ही एक ही कोण को दर्शाते हैं; जो आपके सवाल में चाहिए उसका इस्तेमाल करें। कैलकुलस और ऑयलर के सूत्र (Euler's formula) में रेडियन ही मानक होता है।

अगर a और b दोनों शून्य हों तो? तब $z = 0$ होगा, मॉड्यलस $0$ होगा, और आर्ग्युमेंट अपरिभाषित (undefined) रहेगा (परंपरा के अनुसार इसे $0$ मान लिया जाता है)।

इसका घातांकी रूप (exponential form) से क्या संबंध है? ऑयलर के सूत्र के अनुसार, $r(\cos\theta + i\sin\theta) = r\cdot e^{i\theta}$, यानी वही $r$ और $\theta$ सीधे घातांकी रूप भी दे देते हैं।

संबंधित कैलकुलेटर