삼각형식이란?
모든 복소수 \(z = a + bi\)는 삼각형식(극형식) \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)으로 나타낼 수 있습니다. 여기서 \(r\)은 절댓값(modulus)으로 원점으로부터의 거리이고, \(\theta\)는 편각(argument)으로 양의 실수축에서 잰 각도를 뜻합니다. 이 계산기는 직교 형태의 복소수 \(a + bi\)를 삼각형식으로 변환하고, \(\theta\)를 도(°)와 라디안 두 단위로 함께 보여줍니다.
사용 방법
복소수의 실수부 \(a\)와 허수부 \(b\)를 입력하면 절댓값 \(r\)과 편각 \(\theta\)를 바로 확인할 수 있습니다. 이 계산기는 atan2 함수를 사용하므로 각도가 자동으로 올바른 사분면에 배치됩니다. 부호를 직접 따져가며 보정할 필요가 없습니다.
공식 풀이
절댓값은 피타고라스 정리에서 나옵니다: \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\). 편각은 \(\theta = \operatorname{atan2}(b,\ a)\)로, 벡터 \((a, b)\)가 이루는 각도를 돌려줍니다. \(r\cdot\cos\theta\)를 계산하면 다시 \(a\)가 되고, \(r\cdot\sin\theta\)를 계산하면 다시 \(b\)가 되므로, 이 형태가 원래 복소수와 동일함을 확인할 수 있습니다.
$$z = r\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} r &= \sqrt{\text{Real }(a)^{2} + \text{Imag }(b)^{2}} \\ \theta &= \operatorname{atan2}\!\left(\text{Imag }(b),\ \text{Real }(a)\right) \end{aligned} \right.$$
예제로 알아보기
\(z = 3 + 4i\)를 살펴봅시다. 절댓값은 \(r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\)입니다. 편각은 \(\theta = \operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0.9273\) 라디안 \(\approx 53.13°\)입니다. 따라서 \(z = 5(\cos 53.13° + i\sin 53.13°)\)이 됩니다.
자주 묻는 질문
도(°)와 라디안 중 무엇이 맞나요? 둘 다 같은 각도를 나타내므로 문제에서 요구하는 단위를 쓰면 됩니다. 미적분학과 오일러 공식에서는 라디안이 표준입니다.
a와 b가 모두 0이면 어떻게 되나요? 이 경우 \(z = 0\)이고 절댓값은 0이며, 편각은 정의되지 않습니다(관례상 0으로 둡니다).
지수 형태와는 어떤 관계가 있나요? 오일러 공식에 따라 \(r(\cos\theta + i\sin\theta) = r\cdot e^{i\theta}\)이므로, 동일한 \(r\)과 \(\theta\)가 곧바로 지수 형태를 줍니다.
