복소수의 편각이란?
모든 복소수 \(z = a + bi\)는 복소평면 위의 점 \((a, b)\)로 나타낼 수 있습니다. 이때 편각(argument)은 위상(phase) 또는 진폭(amplitude)이라고도 하며, 원점에서 그 점까지 이은 직선이 양의 실수축과 이루는 각을 반시계 방향으로 잰 값입니다. 절댓값 \(|z|\)와 편각을 함께 사용하면 복소수의 극형식을 얻을 수 있습니다: $$z = |z|(\cos\theta + i\cdot\sin\theta).$$
계산기 사용법
복소수 \(a + bi\)의 실수부 \(a\)와 허수부 \(b\)를 입력하세요. 그러면 편각이 라디안과 각도(°) 두 가지로 표시되고, 절댓값도 함께 나옵니다. 음수도 입력할 수 있으며, 결과는 자동으로 올바른 사분면에 배치됩니다.
공식 살펴보기
단순히 \(\theta = \arctan(b/a)\)를 쓰는 방법도 있지만, 이 방식은 \(a = 0\)일 때 계산이 안 되고 사분면을 구분하지 못합니다. 그래서 두 인수를 받는 함수 \(\operatorname{atan2}(b, a)\)를 사용합니다. $$\arg z = \operatorname{atan2}\left(\text{Imaginary }b,\ \text{Real }a\right)$$ 이 함수는 \(a\)와 \(b\)의 부호를 모두 확인하여 \((-\pi, \pi]\) 범위에서 올바른 각을 돌려줍니다. 절댓값은 유클리드 거리 $$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$로 구합니다.
예제 풀이
\(z = 1 + i\)인 경우 \(a = 1\), \(b = 1\)입니다. 따라서 $$\arg(z) = \operatorname{atan2}(1, 1) = \frac{\pi}{4} \approx 0.7854 \text{ 라디안} = 45^\circ$$이고, \(|z| = \sqrt{2} \approx 1.4142\)입니다. 즉 \(1 + i\)는 제1사분면의 직선 \(y = x\) 위에 놓이며, 이는 우리가 예상한 그대로입니다.
자주 묻는 질문
편각의 범위는 어떻게 되나요? 관례적으로 주값(principal value)은 \((-\pi, \pi]\), 즉 -180°에서 180° 사이에 놓입니다.
\(\arg(0)\)은 무엇인가요? 0의 편각은 정의되지 않습니다. 이 계산기에서는 \(\operatorname{atan2}(0, 0)\)이 0을 반환하지만, \(|z| = 0\)일 때 각도는 실질적인 의미가 없습니다.
왜 각도와 라디안을 모두 쓰나요? 라디안은 미적분과 오일러 공식에서 표준으로 쓰이고, 각도(°)는 직관적으로 그려보기에 더 편한 경우가 많습니다. 편의를 위해 두 가지를 모두 제공합니다.
