¿Qué es el argumento de un número complejo?
Todo número complejo \(z = a + bi\) se puede representar como un punto \((a, b)\) en el plano complejo. Su argumento (también llamado fase o amplitud) es el ángulo que forma la recta que va desde el origen hasta ese punto con el eje real positivo, medido en sentido antihorario. Junto con el módulo \(|z|\), el argumento define la forma polar del número complejo: $$z = |z|(\cos\theta + i\cdot\sin\theta).$$
Cómo usar esta calculadora
Introduce la parte real a y la parte imaginaria b de tu número complejo \(a + bi\). La calculadora te devuelve el argumento tanto en radianes como en grados, además del módulo. Puedes usar valores negativos y el resultado se sitúa automáticamente en el cuadrante correcto.
La fórmula explicada
Un planteamiento ingenuo emplea \(\theta = \arctan(b/a)\), pero esto falla cuando \(a = 0\) y no permite distinguir los cuadrantes. En su lugar utilizamos la función de dos argumentos \(\operatorname{atan2}(b, a)\), que examina los signos de \(a\) y de \(b\) para devolver el ángulo correcto dentro del intervalo \((-\pi, \pi]\):
$$\arg z = \operatorname{atan2}\left(\text{Imaginary }b,\ \text{Real }a\right)$$El módulo es la distancia euclídea \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\).
Ejemplo resuelto
Para \(z = 1 + i\), tenemos \(a = 1\) y \(b = 1\). Entonces $$\arg(z) = \operatorname{atan2}(1, 1) = \frac{\pi}{4} \approx 0{,}7854 \text{ radianes} = 45^\circ,$$ y \(|z| = \sqrt{2} \approx 1{,}4142\). Por tanto, \(1 + i\) se encuentra sobre la recta \(y = x\) en el primer cuadrante, justo como cabía esperar.
Preguntas frecuentes
¿Qué intervalo se usa para el argumento? Por convención, el valor principal está en \((-\pi, \pi]\), es decir, de -180° a 180°.
¿Cuánto vale \(\arg(0)\)? El argumento de cero no está definido; aquí \(\operatorname{atan2}(0, 0)\) devuelve 0, pero el ángulo carece de sentido real cuando \(|z| = 0\).
¿Por qué se dan grados y radianes? Los radianes son la unidad habitual en cálculo y en la fórmula de Euler, mientras que los grados suelen ser más fáciles de visualizar. Por comodidad, ofrecemos ambos.
